Manifold Destiny 2


MANIFOLD DESTINY
Câu chuyện về bài toán huyền thoại và
cuộc tranh chấp về việc ai là người đã thực sự giải được nó
(SYLVIA NASAR và DAVID GRUBER)

Vào buổi tối ngày 20 tháng Sáu, hàng trăm vật lý gia, gồm cả một vị đọat giải Nobel, tề tựu tại một thính phòng cùa Khách sạn Hữu Nghi, Bắc Kinh, để nghe bài thuyết trình của Shing-Tung Yau, nhà toán học Trung Quốc. Vào cuối những năm 1970, trong độ tuổi 20, Yau đã có những phát kiến đột phá, góp phần mở ra cuộc cách mạng của Lý thuyết Dây (string-theory) trong Vật lý. Những đóng góp này đã mang lại cho Yau huy chương Fields – giải thưởng đáng mong muốn nhất trong Toán học – và, bên cạnh đó, uy tín của một chuyên gia với kỹ năng giải toán có một không hai.
Yau trở thành Giáo sư Toán tại Đại học Havard đồng thời kiêm nhiệm chức Viện trưởng Viện Toán tại Bắc Kinh và Hồng Kông. Bài giảng của Yau tại Khách sạn Hữu Nghị nằm trong chương trình của một Hội thảo khoa học Quốc tế về Lý thuyết Dây, do chính Yan tổ chức, với sự hỗ trợ của Chính phủ Trung Quốc, một phần nhằm cổ vũ cho những khám phá mới gần đây trong lĩnh vực Vật lý lý thuyết của nước nhà. (Hơn 6000 sinh viên đã đến nghe bài giảng chính của Hội thảo do người bạn thân của Yau, Stephan Hawking, trình bày tại Đại Lễ Đường Nhân Dân). Có ít người trong cử tọa hiểu rõ về chủ đề bài thuyết trình của Yau: Giả thuyết Poincaré, một vấn đề hóc búa, được đưa ra cách đây một thế kỷ, liên quan đến đặc tính của những khối cầu 3 chiều(three-dimensional spheres). Giả thuyết Poincaré được các nhà toán học coi là “Chén Thánh” (Holy Grail), bởi tầm quan trọng của nó trong Toán học và Vũ trụ học; và cũng bởi vì mọi nỗ lực trong việc tìm lời giải cho nó từ trước đến nay đều bất thành.
Yau, một người đàn ông chắc nịch 57 tuổi, đứng trên bục giảng, tay bỏ trong túi quần, giản dị với cặp kính gọng đen, diễn giải với cử tọa bài chứng minh Giả thuyết Poincaré do hai học trò của mình, Xi-Ping Zhu và Huai-Dong Cao, hoàn thành cách đấy vài tuần. “Tôi rất lạc quan về công trình của Zhu và Cao”, Yau nói, “Các nhà toán học Trung Quốc hoàn toàn có lý do để tự hào về thành quả lớn lao trong việc giải quyết triệt để vấn đề nan giải này”. Yan nói rằng Zhu và Cao phải cảm ơn nhà Toán học Mỹ Richard Hamilton, người đã cộng tác với Yan từ lâu, cũng là người đáng có được nhiều công trạng nhất trong việc giải quyết Giả thuyết Poincaré. Yau cũng đề cập đến Grigory Perelman, một nhà toán học Nga, người mà Yan thừa nhận là có đóng góp quan trọng. Tuy nhiêu, Yau nói, “trong công trình ngoạn mục của Perelman, rất nhiều ý tưởng then chốt của bài chứng minh chỉ được phác thảo và tóm tắt sơ lược, và thường thiếu nhiều chi tiết trọn vẹn”. Yau cũng thêm rằng: “Chúng tôi mong muốn nghe những bàn luận của Perelman. Nhưng hiện tại Perelman đang ở St. Petersburg và từ chối giao tiếp với mọi người.

Trong 90 phút, Yau bàn luận về những chi tiết chuyên môn trong bài chứng minh của các học trò. Khi ông kết thúc, không ai đưa ra câu hỏi nào. Thế nhưng, đêm đó, một nhà Vật lý Bra-xin đã viết về bài thuyết trình của Yau trong nhật ký mạng (blog) của mình như sau: “Có lẽ chẳng bao lâu nữa, Trung Quốc sẽ dẫn đầu cả trong Toán học.

Grigory Perelman quả là một người cô độc. Anh đã bỏ công việc nghiên cứu của mình tại Viện Toán Steklov, St. Petersburg vào tháng 12 năm ngoái. Anh có ít bạn bè, và sống với mẹ trong một chung cư ở ngoại ô thành phố. Dù trước đây chưa khi nào đồng ý phỏng vấn, nhưng khi chúng tôi viếng thăm anh, Perelman có thái độ cư xử thân mật và chân thành. Anh đưa chúng tôi đi dạo khắp thành phố. “Tôi đang kiếm một vài người bạn, và họ không cần phải là những nhà toán học,” anh nói. Trong tuần ngay trước Hội thảo của Yau, Perelman đã dành ra nhiều thời gian để thảo luận về Giả thuyết Poincare với Ngài John M. Ball, vị chủ tịch 58 tuổi của Hiệp hội Toán học thế giới (International Mathematical Union, I.M.U), là một tổ chức có ảnh hưởng lớn trong lĩnh vực Toán học. Buổi gặp gỡ, tại một trung tâm Hội nghị nằm trong một lâu đài uy nghiêm nhìn ra sông Neva, diễn ra hết sức khác thường. Vào cuối tháng Năm, một hội đồng gồm 9 nhà toán học lỗi lạc đã nhất trí chọn Perelman là người được nhận huy chương Fields với công trình của anh về Giả thuyết Poincare; và Chủ tịch Ball đã đến St. Petersburg thuyết phục Perelman đến nhận giải thưởng trong lễ trao giải công khai tại Đại hội của Hiệp hội Toán học thế giới (tổ chức 1 lần mỗi 4 năm) vào ngày 22 tháng Tám tại Madrid.
Huy chương Fields, cũng như Giải thưởng Nobel, được đặt ra, phần nào, với mong mỏi đưa khoa học vượt quá những thù nghịch giữa các quốc gia. Trong kỳ Đại hội lần đầu tiên của I.M.U., diễn ra năm 1924, không có nhà toán học Đức nào được tham gia, và cho dù việc cấm này đã bị bỏ trước kỳ Đại hội tiếp theo, những tổn thương nó gây ra đã đưa đến việc đặt ra Giải thưởng Fields với tiêu chí “Hoàn toàn khách quan và mang tính quốc tế đến mức tối đa” (“as purely international and impersonal as possible.”)
Tuy vậy, Huy chương Fields, được trao tặng 4 năm một lần cho từ 2 đến 4 nhà toán học, không chỉ để tôn vinh những thành quả trong quá khứ, mà còn có mục đích khuyến khích các nghiên cứu trong tương lai. Bởi vậy, chỉ những nhà toán học trẻ hơn 40 tuổi được nhận Huy chương danh giá này. Trong những thập kỷ gần đây, khi số lượng các nhà toán học chuyên nghiệp càng ngày càng nhiều hơn, Huy chương Fields càng trở nên có uy tín. Trong gần 70 năm, chỉ có 44 huy chương được trao tặng, trong đó có 3 huy chương dành cho các công trình liên quan mật thiết với Giả thuyết Poincaré, và không có nhà toán học nào từ chối giải thưởng. Thế nhưng, trong buổi gặp gỡ kể trên, Perelman đã nói với Ball rằng anh không có ý định nhận giải thưởng này. “Tôi từ chối,” anh nói một cách đơn giản.
Trong vòng 8 tháng kể từ tháng Mười Một năm 2002, Perelman đã đăng bài chứng minh Giả thuyết Poincaré của mình – gồm 3 phần – lên mạng Internet. Cũng giống như một bản xo-nê hay aria, một chứng minh toán học mang một hình thức riêng biệt trong một chỉnh thể các quy ước. Nó được bắt đầu với những tiên đề, hoặc các chân lý được công nhận, và sử dụng một loạt các dẫn giải lô-gích để đưa ra kết luận cuối cùng. Nếu những dẫn giải lô-gích được cho là chặt chẽ, không bác bỏ được, thì kết quả cuối cùng trở thành định đề. Không giống như các chứng minh trong Luật hay Khoa học, vì chủ yếu dựa vào các dấu hiệu và chứng cứ, nên luôn bị thẩm tra và sửa lại, một chứng minh của một định đề toán học mang tính tuyệt đối (definitive). Những phán xét về sự chính xác của một bài chứng minh được đưa ra bởi các tạp chí peer-reviewed (phê bình một cách cẩn thận). Để đảm bảo công bằng, chủ bút của tạp chí thường hết sức kỹ lưỡng trong việc chọn những người phê bình cho bài báo, và tính danh của tác giả bài báo được giữ bí mật. Nếu được xuất bản, bài chứng minh được coi là hoàn hảo, chính xác và đầy sáng tạo mới mẻ (original).
Theo những tiêu chuẩn này, bài chứng minh của Perelman là không chính quy. Nó ngắn gọn một cách đáng kinh ngạc so với tầm vóc của một công trình có nhiều tham vọng như vậy; các diễn giải lô-gích, lẽ ra có thể phải được khai triển một cách chi tiết qua nhiều trang, thường bị cô đọng lại đến tối đa. Thêm vào đó, bài chứng minh không hề đề cập trực tiếp đến Giả thuyết Poincaré, và nó đưa ra nhiều kết quả đẹp mắt nhưng không liên quan đến đối tượng bàn luận trọng tâm. Tuy vậy, trong vòng bốn năm sau đó, ít nhất 2 nhóm các chuyên gia đã kiểm nghiệm bài chứng minh của Perelman và họ không tìm thấy bât cứ kẽ hở hay sai sót đáng kể nào. Cộng đồng các nhà Toán học nhất trí công nhận sự kiện: Perelman đã đưa ra lời giải cho Giả thuyết Poincaré. Thế nhưng, bởi sự phức tạp của nó – và bởi cách Perelman đã làm quá tắt (use of shorthand) khi đưa ra những dẫn giải quan trọng nhất – bài chứng minh trở nên dễ bị phản biện. Chỉ có một vài nhà toán học đủ trình độ chuyên môn để đánh giá và bảo vệ nó.
Sau khi qua Mỹ thực hiện một loạt bài thuyết trình về chứng minh của mình trong năm 2003, Perelman trở về St. Petersburg. Kể từ đó, mặc dù vẫn tiếp tục trả lời các thắc mắc về bài chứng minh qua e-mail, anh giữ liên lạc ở mức tối thiểu với các đồng nghiệp, và bởi những lý do nào đó không ai hiểu được, Perelman không hề có ý muốn xuất bản bài chứng minh của mình. Mặc dù vậy, ít ai nghi ngờ việc Perelman, tròn 40 vào ngày 13 tháng Sáu, xứng đáng được nhận một Huy chương Fields. Khi Ball lên kế hoạch cho Đại Hội I.M.U. 2006, ông nhận thức được rằng đây sẽ là một sự kiện lịch sử. Hơn 3000 toán học gia sẽ tham dự Đại hội, và Vua Juan Carlos của Tây Ban Nha đã đồng ý chủ trì buổi lễ trao giải. Bản tin của I.M.U. đã dự đoán rằng Đại hội này sẽ được ghi nhớ là “một sự kiện đánh dấu việc Giả thuyết Poincaré trở thành định đề.” Để chắc chắn rằng Perelman sẽ có mặt tại Đại hội, Chủ tịch Ball quyết định đến St. Petersburg.
Ball không muốn ai biết về chuyến viếng thăm của mình – bởi lẽ danh tính những người được trao tặng Huy chương Fields sẽ chỉ được chính thức công bố tại Lễ trao giải – và trung tâm Hội thảo, nơi ông gặp Perelman, là một chỗ vắng vẻ. Trong 10 tiếng đồng hồ, qua 2 ngày, Ball đã cố thuyết phục Perelman đồng ý nhận giải thưởng. Perelman – một người đàn ông mảnh khảnh, hói đầu với bộ râu quai nón và lông mày rậm, và đôi mắt xanh lơ – lắng nghe Ball một cách lịch sự. Đã 3 năm không sử dụng tiếng Anh, Perelman vẫn đủ khéo léo từ chối lời thỉnh cầu nồng nhiệt của Ball. Anh cũng mời Ball chia xẻ một trong những công việc ưa thích của mình: đi dạo một quãng đường dài. Hai tuần sau, Perelman tóm tắt lại cuộc đàm thoại với Ball như sau: “Ông ấy đưa ra 3 phương án: đồng ý nhận giải và tham gia Đại hội; đồng ý nhận giải nhưng không tham gia Đại hội, và chúng tôi sẽ gửi tấm Huy chương cho anh sau; và phương án thứ 3: không đồng ý nhận giải thưởng. Ngay từ đầu, tôi đã nói với ông ấy là tôi đã chọn phương án thứ 3.” Perelman giải thích rằng anh không quan tâm đến Huy chương Fields. “Nó hoàn toàn không thích hợp với tôi,” anh nói. “Một khi tất cả mọi người đều hiểu rằng bài chứng minh của tôi là chính xác, thì cần gì phải có một sự thừa nhận nào khác.”

Kể từ khi được Henri Poincaré xác lập hơn một trăm năm trước, gần như năm nào người ta cũng công bố các lời giải của Giả thuyết Poincaré. Poincaré là cháu của Raymond Poincaré, Tổng thống Pháp thời Thế chiến I, và là một trong những nhà toán học sáng tạo nhất của thế kỷ 19. Dáng mảnh dẻ, mắc chứng cận thị, và nổi tiếng là đãng trí, ông đã bài toán nổi tiếng của mình vào năm 1904, tám năm trước khi ông qua đời, và đã bao gồm nó như một câu hỏi phụ vào cuối một bài viết dài 65 trang.

Chính bản thân Poincaré cũng đã không giải quyết được nhiều trong việc chứng minh giả thuyết này. Ông viết, “Cette question nous entraînerait trop loin” (“Câu hỏi này sẽ đưa chúng ta đi quá xa”). Ông là người sáng lập ra môn hình học topo , hay còn được biết đến dưới tên “môn hình học tấm cao su”, do trọng tâm của ngành là những đặc tính nội tại của không gian. Từ góc nhìn của một nhà hình học topo thì không có sự khác biệt giữa một cái bánh bagel và một cốc cà phê có quai cầm. Cả hai thứ này đều có một cái lỗ và có thể được biến đổi sao cho cái này trở nên giống cái kia mà không cần phải cắt hay xé. Poincaré sử dụng khái niệm “manifold” (đa dạng) để miêu tả một không gian topo trừu tượng như vậy. Một manifold hai chiều đơn giản nhất có thể có là bề mặt của một quả bóng đá mà đối với một nhà hình học topo thì vẫn là một hình cầu ngay cả khi nó đã bị dẫm bẹp, kéo căng, hay xoắn gập. Bằng chứng rằng một vật thể như vậy là một lưỡng cầu tạm gọi, do nó có thể mang bất kể hình thù gì, là do nó “đơn giản là được kết nối”, có nghĩa là không có lỗ chọc thủng nó. Không giống như một quả bóng đá, một cái bánh bagel không phải là một hình cầu thực sự. Nếu bạn buộc một nút thòng lọng (slipknot) vào một quả bóng đá, bạn có thể dễ dàng thắt nút trượt trên bề mặt của quả bóng. Nhưng nếu bạn buộc dây thòng lọng quanh một cái bánh bagel xuyên qua cái lỗ ở giữa thì bạn không thể thắt chặt nút mà không xé toạc cái bánh ra.

Tới giữa thế kỷ 19 người ta đã hiểu rõ về những manifold hai chiều. Nhưng những gì đúng cho hai chiều có đúng cho ba chiều không lại là điều người ta chưa rõ. Poincaré đưa ra giả thuyết rằng tất cả những manifold 3 chiều, đóng, kết nối đơn giản, những cái không có lỗ và hữu hạn thì đều là khối cầu. Giả thuyết này quan trọng tiềm năng cho những nhà khoa học nghiên cứu manifold lớn nhất được biết là vũ trụ. Tuy vậy, chứng minh giả thuyết này bằng toán học hoàn toàn không dễ. Phần lớn các cố gắng đều kết thúc tồi, nhưng một vài nỗ lực cũng đã dẫn đến những phát kiến toán học quan trọng bao gồm các lời giải Bổ đề Dehn (Dehn’s Lemma), Định đề Khối cầu (Sphere Theorem), và Định đề Thòng lọng (Loop Theorem).

Đến khoảng những năm 1960, hình học topo đã trở nên một trong những lĩnh vực năng suất cao nhất của toán học, và các nhà hình học topo trẻ liên tục tấn công Giả thuyết Poincaré. Điều làm cho đa số các nhà toán học phải ngạc nhiên là phát hiện rằng các manifold 4, 5, và nhiều chiều hơn có thể được chứng thực dễ dàng hơn là những manifold 3 chiều. Đến năm 1982, giả thuyết của Poincaré đã được chứng minh trong mọi chiều ngoại trừ chiều thứ 3. Vào năm 2000, Viện Toán Clay, một quỹ tư nhân hỗ trợ nghiên cứu toán học, đã gọi Giả thuyết Poincaré là một trong 7 bài toán chưa giải quan trọng nhất trong toán học và đã đưa ra giải thưởng một triệu đô la cho bất kỳ ai có thể chứng minh được nó.

“Cả đời làm toán của tôi bị giả thuyết Poincaré chiếm dụng,”, John Morgan, trưởng khoa toán đại học Columbia nói, “Tôi chẳng bao giờ nghĩ là sẽ có lúc tôi được nhìn thấy một lời giải. Tôi cứ nghĩ chẳng ai có thể động được đến nó.”

Grigory Perelman đã không tự định hướng trở thành nhà tóan học. “Chưa hề có giây phút quyết định nào cả,” anh nói trong buổi gặp gỡ với chúng tôi bên ngoài chung cư nơi anh sống tại Kupchino, nơi có những tòa nhà cao tầng xám xịt buồn tẻ. Bố của Perelman, một kỹ sư điện tử, luôn động viên niềm hứng thú của anh trong Toán học. “Bố tôi thường ra những bài toán và bài suy luận cho tôi làm,” anh nói. “Bố cũng mua nhiều sách cho tôi đọc, dạy tôi chơi cờ quốc tế, và Cụ luôn tự hào về tôi.” Trong số những quyển sách được bố mua cho, có quyển “Vật lý giải trí” là một best-seller tại Liên Xô vào những năm 1930. Trong lời mở đầu, tác giả cuốn sách đã mô tả nội dung của nó là “những vấn đề hóc búa, phải nghĩ nát óc, nhưng với những giai thoại thú vị và những so sánh rất đáng ngạc nhiên,” và cũng thêm rằng, “tôi đã trích dẫn nhiều từ Jules Verne, H. G. Wells, Mark Twain và các nhà văn khác, bởi lẽ các thí nghiệm kỳ lạ mà các nhà văn này mô tả không chỉ hết sức thú vị, mà còn có thể được sử dụng như các minh họa bài học trong các giờ học Vật lý.” Quyển sách giải thích về các chủ đề ví dụ như: làm thế nào có thể nhảy xuống từ một chiếc xe đang chạy, và tại sao, “theo đúng định luật của sự nổi, chúng ta không bao giờ bị chìm trong nước Biển Chết.”

Việc trở thành nhà toán học, người Nga cho đây là một việc đáng làm, đối với Perelman, người chỉ coi toán học là sở thích, lại là một điều tình cờ. (The notion that Russian society considered worthwhile what Perelman did for pleasure came as a surprise). Vào năm 14 tuổi, anh đã là một ngôi sao sáng trong Câu lạc bộ Toán trong vùng. Vào năm 1982, cũng là năm Shing-Tung Yau nhận Huy chương Fields, Perelman đạt điểm tối đa và huy chương vàng trong cuộc thi Olympíc Toán học Quốc tế tổ chức tại Budapest. Đối với các bạn trong đội, anh tỏ ra thân thiện nhưng không dễ gần – “Lúc đó, tôi không có bạn thân,” Perelman nói. Anh là một trong hai hay ba học sinh gốc Do thái trong lớp học, và anh có một niềm ham mê ô-pê-ra, cũng là một điều khác biệt so với các bạn cùng trang lứa. Mẹ anh, một giáo viên Toán tại một trường cao đẳng kỹ thuật biết chơi violon, bắt đầu đưa Perelman đến nhà hát ô-pê-ra khi anh được 6 tuổi. Cho đến khi 15 tuổi, anh thường tiết kiệm tiền túi để mua các băng đĩa. Anh đã run lên vì xúc động khi có được đĩa nhạc thể hiện buổi trình diễn nổi tiếng năm 1946 của tác phẩm “La Traviata”, với Licia Albanese trong vai Violetta. “Giọng hát của cô ấy thật là tuyệt vời,” anh nói.

Năm 1982, tròn 16 tuổi, Perelman nhập học Đại học Leningrad, anh đăng ký các lớp cao cấp về hình học, và giải quyết một bài toán do Yuri Burago – một nhà toán học làm việc tại Viện Steklov, người sau này sẽ hướng dẫn Perelman làm luận án tiến sĩ – đưa ra. “Có rất nhiều sinh viên có năng lực, nhưng thường phát biểu trước khi suy nghĩ,” Burago nói. “Grisha không như vậy. Anh ta suy nghĩ rất sâu sắc và luôn đưa ra các câu trả lời chính xác. Anh ta luôn soát lại rất cẩn thận.” Burago thêm vào, “Anh ta không nhanh. Tốc độ không có ý nghĩa gì cả. Toán học không phụ thuộc vào tốc độ. Toán học là phải có chiều sâu.”

Tại viện Steklov vào đầu những năm 1990, Perelman trở thành chuyên gia về hình học trong không gian Riemanian – Alexandrov, là một sự mở rộng của không gian Euclide truyền thống, và anh bắt đầu đăng báo tại các tạp chí toán học hàng đầu của Nga và Mỹ. Năm 1992, Perelman được mời đến nghiên cứu tại Đại học New York và Đại học Stony Brook, mỗi nơi một học kỳ. Mùa thua năm đó, thời điểm Perelman lên đường sang Mỹ, kinh tế nước Nga rơi vào khủng hoảng. Dan Stroock, một nhà toán học tại Học viện kỹ thuật Massachusetts (M.I.T) nhớ lại việc đã gửi lén một số tiền đô la – được kẹp trong những chiếc bánh ngọt – cho một nhà toán học hưu trí tại Viện Steklov, đang sống trong cảnh nghèo khổ thiếu thốn cũng như nhiều đồng nghiệp khác thời ấy.

Perelman khá hài lòng khi đến nước Mỹ, trung tâm của cộng đồng các nhà toán học thế giới. Ngày nào anh cũng mặc đúng một chiếc áo khoác nhung và nói với các bạn tại Đại học New York rằng anh đang ở trong chế độ ăn kiêng, chỉ ăn bánh mì, pho-mát và sữa. Anh thích dạo xuống khu Brooklyn, nơi anh có thể thăm một vài họ hàng và có thể mua bánh mì đen truyền thống của Nga. Một vài người bạn của anh tỏ vẻ ngạc nhiên về các móng tay dài đến cả 5 phân của Perelman. “Nếu chúng đang mọc, thì tại sao tôi lại không để chúng tiếp tục mọc?” anh trả lời mỗi khi được hỏi tại sao lại không cắt móng tay. Mỗi tuần một lần, Perelman và Gang Tian, một nhà toán học trẻ Trung Quốc lái xe đến (thành phố) Princeton để tham dự buổi hội nghị chuyên đề tại Viện Nghiên cứu Cao Cấp (Institute for Advanced Study).

Qua nhiều thập kỷ, Viện này và Đại học Princeton gần đó đã trở thành các trung tâm nghiên cứu hình học tô-pô. Vào cuối những năm 1970, nhà toán học Princeton William Thurston, người thích thử nghiệm những ý tưởng của mình bằng cách dùn kéo cắt và xếp giấy, đã đưa ra một nguyên tắc cho việc phân loại các manifold 3 chiều (a taxonomy for classifying manifolds of three dimensions). Lý luận của ông là: mặc dù các manifolds có thể được biến hóa thành nhiều hình dạng khác nhau, chúng có những dạng hình “ưa thích”, cũng giống như một tấm lụa, khi trải lên một ma-nơ-canh, sẽ có hình thể của ma-nơ-canh.

Thurston đề xuất rằng có thể phân chia mọi manifold 3 chiều ra thành ít nhất 1 trong 8 loại dạng hình thành phần, trong đó có loại khối cầu. (Thurston proposed that every three-dimensional manifold could be broken down into one or more of eight types of component, including a spherical type). Lý thuyết của Thurston – còn được biết đến dưới tên gọi Giả thuyết của sự hình học hóa (geometrization conjecture) — mô tả tất cả các manifold 3 chiều có thể hiện hữu, và do đó chính là một sự tổng quát hóa sâu sắc Giả thuyết Poincaré. Việc chứng thực được lý thuyết này cũng đồng nghĩa với việc giải quyết xong Giả thuyết Poincaré. Chứng minh được các Giả thuyết Thurston và Poincaré sẽ dứt “khoát mở tung các cánh cửa (definitely swings open doors),” Barry Mazur, toán học gia Đại học Havard, nói. Những liên quan quan trọng của hai Giả thuyết này với các lĩnh vực khác có thể không được nhận thấy rõ rang trong nhiều năm, nhưng đối với Toán học, 2 bài toán này có vai tròn rất quan trọng. “Nó cũng giống như là định đề Py-ta-go của thế kỷ 20,” Mazur bàn thêm. “Nó sẽ thay đổi tầm nhìn.”

Thurston được trao tặng Huy chương Fields vào năm 1982 vì những cống hiến của ông cho hình học tô-pô. Cũng trong năm đó, Richard Hamilton, nhà toán học tại Đại học Cornell, đăng một bài báo về một phương trình có tên là Dòng chảy Ricci (the Ricci flow). Hamilton ngờ rằng phương trình này có thể thích hợp cho việc giải quyết các Giả thuyết Thurston và Poincaré. Cũng giống như phương trình nhiệt mô tả việc nhiệt phân bố đồng đều trong một vật chất: ví dụ như nhiệt truyền từ phần nóng hơn sang phần lạnh hơn trong một tấm thép để tạo nên một nhiệt độ đồng nhất hơn, Dòng chảy Ricci, bằng sự vi chỉnh các điểm không đều (smoothing out irregularities), sẽ tạo cho các manifold những dạnh hình đồng nhất hơn (gives manifolds a more uniform geometry).

Hamilton, con trai của một bác sĩ bang Cincinnati, tạo một hình ảnh khá mâu thuẫn với các khuôn mẫu trong lĩnh vục toán học. Với vẻ ngoài bất cần và cao ngạo, ông cưỡi ngựa, chơi lướt ván buồm, và có hàng tá bạn gái. Ông coi Toán học chỉ là một sở thích trong cuộc sống. Vào độ tuổi 49, ông là một giảng viên lỗi lạc, nhưng ngoài một lọat bài về dòng chảy Ricci viết cho các hội thảo, ông rất ít viết bài cho các tạp chí, và ông cũng chỉ hướng dẫn một vài nghiên cứu sinh. Perelman, sau khi đã đọc các bài viết của Hamilton, đã đến nghe bài giảng Hamilton trình bày tại Viện nghiên cứu cao cấp, và vào cuối buổi, Perelman bén lẽn đến nói chuyện với Hamilton.

“Tôi rất muốn hỏi ông ta một vài điều,” Perelman nhớ lại. “Ông ta cười và tỏ ra rất kiên nhẫn. Ông ta cũng nói với tôi về một vài điều, mà vài năm sau đó ông ta mới đăng báo. Ông ta không do dự khi nói với tôi về những điều đó. Sự cởi mở và tính khoáng đạt của Hamilton đã thực sự cuốn hút tôi. Tôi không thể nói rằng phần lớn các nhà toán học có cùng cách cư xử như Hamilton.”
“Khi đó tôi đang nghiên cứu những vấn đề khác, tuy nhiên thỉnh thoảng tôi cũng suy nghĩ về Dòng chảy Ricci,” Perelman nói thêm. “Bạn không cần phải là một nhà toán học lỗi lạc để thấy rằng Dòng chảy Ricci có thể hữu dụng cho sự hình học hóa (geometrization). Tôi cảm thấy mình biết về nó không nhiều và, do vậy, tôi hỏi ông ấy không thôi.”

Shing-Tung Yau cũng có một vài câu hỏi về dòng Ricci giành cho Hamilton. Vào những năm 1970, Yau và Hamilton đã gặp gỡ và trở nên thân thiết với nhau bất chấp sự khác biệt về chuyên môn và tính tình. Một nhà toán học tại Đại học California, San Diego quen biết cả 2 người, gọi quan hệ của họ là “mối tình toán học trong cuộc sống của mỗi người.”

Cùng với hàng trăm ngàn người tị nạn Trung Quốc khác, trốn tránh bộ đội Mao Trạch Đông, gia đình Yau chạy sang Hồng Kông vào năm 1949, khi Yau mới được 5 tháng tuổi. Năm trước đó, Bố của Yau, một nhân viên cứu trợ của Liên Hợp Quốc đã trắng tay trong những thương vụ bất thành. Ở Hồng Kông, ông dạy kèm các sinh viên cao đẳng các môn Triết học và Văn học Trung quốc để lo cho vợ và 8 người con.

Khi Yau lên 14, Bố ông qua đời vì căn bệnh ung thư thận. Trang trải cho gia đình hoàn toàn phụ thuộc vào những món cứu tế của các nhà truyền giáo Tin Lành và số tiền ít ỏi mà Mẹ ông kiếm được nhờ việc bán các món đồ thủ công. Chỉ đến lúc đó, vốn rất thờ ơ với trường lớp, Yau bắt đầu lao mình vào việc học tập. Yau dạy kèm các bạn môn Toán để kiếm thêm tiền. “Một trong những động lực của Yau, là ông muốn cuộc sống của riêng mình là một cuộc báo phục cho cha mình,” Dan Stroock, một nhà toán học Viện MIT quen biết Yau từ 20 năm nay nói. “Bố của Yau cũng giống như một vị Talmud có những đứa con đói ăn.”

Yau học toán tại Đại Học Trung Quốc, Hồng Kông. Tại đây, một nhà toán học Trung Quốc nổi tiếng lúc bấy giờ, Shiing-Shen Chen đã chú ý tới Yau và đã giúp ông nhận được một học bổng tại Đại Học California, Berkeley. Chern là tác giả của một định đề nổi tiếng kết hợp hình học với hình học tô-pô. Ông hoạt động nghiên cứu chủ yếu tại Berkeley. Chern hay có những chuyến thăm Hồng Kông, Đài Loan, và sau này là Trung Quốc, nơi ông trở thành biểu tượng cho những thành tựu trí tuệ để khuyến khích việc nghiên cứu Toán học và khoa học.

Năm 1969, Yau bẳt đầu chương trình nghiên cứu sinh tại Berkeley. Mỗi học kỳ ông đăng ký 7 môn học, và dự thính vài môi khác nữa. Ông gửi một nửa số tiền học bổng về cho mẹ, và gây ấn tượng với các giáo sư bằng sự cần cù (tenacity) của mình. Yau đã phải chia xè niềm vinh dự – khi ông đạt được kết quả nghiên cứu quan trọng đầu tiên – cho 2 nhà toán học khác nghiên cứu cùng một vấn đề. Vào năm 1976, Yau chứng minh được một giả thuyết có từ 20 năm trước đó, gắn liền với một loại manifold và có vai trò vô cùng quan trọng trong Lý thuyết Dây sau này. Bài toán này – còn được gọi là Giả thuyết Calabi – đã được một nhà toán học Pháp chứng minh, nhưng lời giải của Yau, vì có tính tổng quát hơn, nên triệt để hơn. (Các nhà vật lý hiện tại thường dùng thuật ngữ Các manifold Calabi-Yau khi nói về định đề này.) “Ông ta không chú ý nhiều đến những cách nhìn nhận mới mẻ sáng tạo về bài toán, nhưng – với trí tuệ vô cùng sắc bén và lòng mong muốn cao độ – Yau đã giải quyết được những vấn đề kỹ thuật cực kỳ khó khăn, mà có lẽ vào lúc đỏ, chỉ có mỗi ông ta có thể giải được,” Phillip Griffíth, nhà hình học, nguyên giám đốc Viện Nghiên cứu Cao cấp, đã nói như vậy.

Vào năm 1980, khi Yau 30 tuổi, ông là một trong những nhà toàn học trẻ nhất được chọn vào vị trí giảng viên chính thức tại Viện Nghiên cứu Cao cấp, và ông bắt đầu thu nhận các sinh viên tài giỏi. Hai năm sau, Yau trở thành người Trung Quốc đầu tiên nhận Huy chương Fields. Vào lúc này, Chern đã 70 và chuẩn bị về hưu. Theo lời một người thân của Chern, thì “Yau quyết định rằng ông ta phải trở thành toán học gia Trung Quốc nổi tiếng tiếp theo, và đã đến lúc Chern phải trao lại vị trí đó.”

Đại học Havard đã nỗ lực tuyển dụng Yau, và vào năm 1983, khi trường này chuẩn bị đưa ra đề nghị tuyển dụng lần thứ hai, Phillip Griffíth đã kể cho ông trưởng khoa Toán Havard nghe về truyền thuyết “Lưu Bị ba lần cầu Khổng Minh” của Trung Quốc từ thời Tam Quốc. Theo lời gợi ý này, ông trưởng khoa đã bay đến Philadelphia, nơi Yau sống lúc đó, và đưa ra lời đề nghị với Yau. Dù vậy, Yau vẫn từ chối lời mời. Năm 1987, Yau cuối cùng cũng đồng ý chuyển đến Havard.

Với năng lượng và sự thôi thúc bản thân, Yau cộng tác nhiều với đồng nghiệp và các sinh viên, và bên cạnh công việc nghiên cứu của riêng mình, ông bắt đầu tổ chức các hội thảo. Ông thường kết hợp với các nhà toán học vô cùng sáng tạo như Richard Schoen và William Meeks. Tuy vậy, Yau đặc biệt có ấn tượng với Hamilton, cả từ dáng vẻ nghênh ngang lẫn óc tưởng tượng tuyệt với của ông này. “Tôi có được nhiều điều vui vẻ với Hamilton,” Yau nói với chúng tôi tại Hội Nghị về Lý thuyết Dây tại Bắc Kinh. “Tôi có thể đi bơi với ông ta. Tôi đi chơi với Hamilton cùng các bạn gái của ông ta, vv…” Yau cũng tin rằng Hamilton có thể sử dụng phương trình dòng Ricci để giải quyết các Giả thuyết Poincaré và Thrustons, và thúc giục Hamilton tập trung vào vấn đề này. “Việc gặp Yau đã thay đổi đời sống toán học của Hamilton,” một người bạn của cả hai nhà toán học đã nói như vậy. “Đấy là lần đầu tiên Hamilton bắt tay vào một công việc thực sự to lớn. Cuộc nói chuyện với Yau đã mang đến cho ông ta đường hướng và lòng can đảm.”

Yau cũng đã tin rằng, nếu ông có thể có đóng góp trong việc chứng minh Giả thuyết Poincaré, thì đó sẽ là một thắng lợi không chỉ của riêng ông mà còn là của cả Trung Quốc. Vào giữa thập kỷ 1990, Yau và một số học giả Trung Quốc khác bẳt đầu gặp gỡ Chủ tịch Jiang Zemin để bàn luận về việc tái thiết các cơ sở khoa học phần lớn đã bị phá hủy trong cuộc Cách mạng Văn hóa. Thời đó, tình trạng của các truờng đại học Trung Quốc hết sức tồi tệ. Theo lời của Steve Smale, người đoạt giải Fields cho công trình chứng minh Giả thuyết Poincare cho những chiều lớn hơn và cũng đã có thời gian giảng dạy tại Hồng Kông sau khi về hưu taị Berkeley, thì Đại học Peking có “nhiều tòa nhà đầy mùi nước tiểu và một phòng làm việc và một văn phòng chung cho tất cả các phó giáo sư,” và chỉ có thể trả lương rất thấp cho các giảng viên. Yau đã thuyết phục được một nhà kinh doanh bất động sản có vai vế tại Hồng Kông tài trợ cho Viện Toán thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Trung Quốc ở Bắc Kinh, và lập ra một giải thưởng tương tự như Huy chương Fields cho các nhà tóan học Trung Quốc trẻ hơn 45 tuổi. Trong những chuyến về thăm Trung Quốc, Yau quảng bá về Hamilton và về việc cộng tác nghiên cứu vấn đề dòng Ricci và Giả thuyết Poincaré của hai người như một hình mẫu cho những nhà toàn học Trung Quốc trẻ tuổi. Cũng như Yau đã nói với chúng tôi tại Bắc Kinh, “Họ luôn nói rằng cả nước phải học tập Mao Chủ tịch và những anh hùng vĩ đại. Nên tôi đã nửa đùa nửa thật mà bảo họ rằng cả nước cũng nên học tập Hamilton.

Grigory Perelman, khi ấy, đã học tập Hamilton rồi. Năm 1993, anh bẳt đầu 2 năm nghiên cứu tại Berkeley. Trong thời gian này, Hamilton có đến đây giảng bài vài lần, và trong một buổi, ông có đề cập đến việc ông đang nghiên cứu giải quyết Giả thuyết Poincaré. Phương án giải quyết vấn đề của Hamilton, thông qua việc sử dụng dòng Ricci, vô cùng phức tạp và khó khăn về mặt chuyên môn. Sau một buổi nói chuyện, Hamilton kể với Perelman về chướng ngại lớn nhất của mình. Khi một không gian bị làm phẳng bởi dòng Ricci (is smoothed under the Ricci flow), có một vài vùng trong nó bị biến dạng thành – các nhà toán học thường gọi chúng là – các “vùng kỳ dị” (singularities). Một vài vùng – có tên gọi là “cái cổ” (necks)– trở thành những “vùng loãng” với mật độ vô hạn (attenuated areas of infinite density). Khó khăn hơn nữa đối với Hamilton, là những vùng kỳ dị được ông đặt tên là “xì-gà”. Nếu các vùng “xì-gà” này được tạo thành, Hamilton e rằng khi đó không thể có được dạng hình đồng nhất. Perelman nhận ra rằng một bài báo viết về không gian Alexandrov của anh sẽ trở nên hữu dụng cho Hamilton trong việc chứng minh Giả thuyết Thurston – và tất nhiên là cả Giả thuyết Poincaré – nếu như Hamilton giải quyết được bài toán của “các điếu xì-gà.” “Một lúc nào đó trong buổi nói chuyện, tôi đã hỏi Hamilton rằng ông ấy có biết về một kết quả về sự gãy gập (collapsing result) – theo tôi là rất hữu ích cho việc giải quyết vấn đề của ông ấy – mà tôi đã chứng minh được nhưng chưa đăng báo, không?” Perelman kể. “Nhưng sau đó, tôi nhận ra rằng ông ấy đã không hiểu tôi muốn nói về cái gì.” Dan Strook tại MIT nói rằng “Perelman dường như đã học hỏi một vài điều từ Hamilton và Yau, nhưng, cùng lúc đó, Hamilton và Yau đã không học hỏi gì từ Perelman cả.”

Vào cuối năm đầu tiên tại Berkeley, Perelman viết một vài bài báo với những ý tưởng mới rất đáng chú ý. Anh được mời thuyết trình tại Đại hội IMU tổ chức tại Zurich năm 1994, và cũng nhận được những lời mời đến làm việc từ các Đại học Stanford, Princeton, Viện Nghiên cứu Cao cấp, và Đại học Tel Aviv. Cũng giống như Yau, Perelman có kỹ năng giải toán kiệt xuất. Thay vì dành hàng năm trời cho việc xây dựng một khung lý thuyết phức tạp, hay là xác lập những lĩnh vực nghiên cứu mới, anh tập trung vào việc tìm ra những kết quả đặc thù. Theo lời của Mikhail Gromov, một nhà hình học Nga nổi tiếng đã có thời gian cộng tác cùng Perelman, anh đã cố gắng giải quyết một vấn đề chuyên môn liên quan đến không gian Alexandrov, và dường như đã rơi vào bế tắc. “Anh ta đã không thể giải quyết được,” Gromov kể. “Không có chút hy vọng nào.”

Perelman nói với chúng tôi rằng anh thích nghiên cứu nhiều vấn đề cùng một lúc. Thế nhưng, tại Berkeley anh thấy mình càng lúc càng quan tâm hơn đến phương trình dòng Ricci của Hamilton và vấn đề mà Hamilton cho rằng sẽ giải quyết được với phương trình này. Một vài người bạn của Perelman đã chú ý anh càng ngày càng sống khổ hạnh hơn. Những vị khách đến từ St. Petersburg lấy làm kinh ngạc về sự trống trải không đồ đạc của căn hộ của Perelman. Và việc Perelman dường như chỉ sống với một vài nguyên tắc cứng nhắc làm một số người khác lo lắng cho anh. Perelman đã tỏ ý không bằng lòng, khi một thành viên hội đồng tuyển dụng của Đại học Stanford đề nghị Perelman đính kèm một bản CV cùng với thư tiến cử. “Nếu họ biết công trình của tôi, họ không cần bản CV,” anh nói. “Nếu họ cần bản CV, có nghĩa là họ không biết công trình của tôi.”

Rốt cuộc, Perelman đã nhận được vài đề nghị việc làm, nhưng anh từ chối hết thảy, và vào mùa hè năm 1995, Perelman trở về St. Petersburg, tiếp tục công việc cũ của mình tại Viện Steklov, nơi anh nhận khoản lương ít hơn 100 đô-la mỗi tháng. (Anh nói với một người bạn rằng anh đã tích lũy đủ tiền để sống đến cuối đời trong thời gian ở Mỹ.) Khi đó, Bố anh đã quay về Israel hai năm trước, em gái anh cũng đã có kế hoạch đến ở cùng ông sau khi tốt nghiệp. Tuy vậy, Mẹ anh quyết định ở lại St. Petersburg và Perelman đến ở cùng với Mẹ. “Tôi nhận ra rằng ở Nga tôi có thể làm việc tốt hơn,” anh nói với các đồng nghiệp tại Viện Steklov như vậy.

Vào năm Perelman 29 tuổi, anh đã chính thức là một nhà toán học, và cũng không phải gánh vác nhiều trách nhiệm trong chuyên môn. Anh được tự do theo đuổi bất cứ vấn đề nào anh muốn, và anh hiểu rõ rằng một khi được đăng báo, thì chắc chắn công trình của mình sẽ nhận được những sự quan tâm hết sức nghiêm túc. Yakov Eliashberg, một nhà toán học Stanford quen biết với Perelman tại Bekerley, cho rằng anh trờ về Nga để nghiên cứu về Giả thuyết Poincaré. “Tại sao không?” Perelman trả lời khi chúng tôi hỏi anh về suy nghĩ của Eliashberg.

Với mạng Internet, Perelman đã có thể làm việc một mình, trong khi vẫn cập nhật được những kiến thức phổ biến. Anh tìm đọc các bài báo của Hamilton để tìm tòi các manh mối cho các ý tưởng của mình, và anh cũng thực hiện vài buổi thuyết trình về nghiên cứu của mình. “Anh ấy không cần bất cứ sự trợ giúp nào,” Gromov nói. Anh ấy thích được làm việc đơn độc. Anh ấy khiến tôi phải nhớ đến Newton – ám ảnh bởi một ý tưởng, tự nghiên cứu một mình, và không quan tâm đến ý kiến của những người khác. Newton thì khó chịu hơn, Perelman dễ chịu hơn. Nhưng anh ấy bị ám ảnh rất nhiều.”

Vào năm 1995, Hamilton đăng một bài báo trong đó ông bàn luận về một vài ý tưởng cho việc hoàn thiện bài chứng minh Giả thuyết Poincaré. Và sau khi đọc bài báo này, Perelman nhận ra rằng Hamilton không đạt được bất cứ một sự tiến triển nào trong việc giải quyết các khó khăn của mình – vấn đề các “cái cổ” và “điếu xì-gà”. “Tôi không thấy điều gì chứng tỏ ông ấy đạt được một sự tiến triển nào kể từ đầu năm 1992,” Perelman nói với chúng tôi. “Có thể ông ấy đã bế tắc từ trước đó nữa.” Thế nhưng, Perelman cho rằng mình đã tìm được một con đường ra khỏi ngõ cụt. Năm 1996, với hy vọng cùng cộng tác nghiên cứu, anh viết cho Hamilton một bức thư dài phác thảo những ý kiến của mình. “Ông ấy không trả lời,” Perelman nói. “Do vậy, tôi quyết định nghiên cứu một mình.”

Yau đã không biết rằng nghiên cứu của Hamilton đang bế tắc. Lúc này, mối quan tâm của Yau là vị thế của mình trong cộng đồng Tóan học, đặc biệt là tại Trung Quốc, nơi ông lo ngại rằng có một học giả trẻ tuổi sẽ hất cẳng ông mà chiếm lấy vai trò của một nhà toán học kế tục Chern. Dù ông vẫn thường xuyên có bài đăng tạp chí, nhưng hơn mười năm đã trôi qua kể từ khi Yau cho ra được một kết quả chứng minh quan trọng. “Yau muốn trở thành ông vua của nghành hình học,” Michael Anderson, một nhà hình học tại ĐH Stony Brook, nói. “Ông ta cho rằng mọi thứ phải được chính ông ta đưa ra, và ông ta phải là người kiểm soát mọi vấn đề. Ông ta cũng không muốn bị ai lấn sân.” Với quyết tâm giữ vững vị trí thống soái của mình trong nghành, Yau thúc ép các nghiên cứu sinh của mình giải quyết các vấn đề lớn. Tại ĐH Havard, Yau tổ chức các buổi seminar nổi tiếng là khắc nghiệt – 3 buổi một tuần, mỗi buổi 3 tiếng – về hình học vi phân (differential geometry). Mỗi nghiên cứu sinh được Yau giao cho một bài chứng minh vừa được đăng báo không lâu, với yêu cầu xây dựng lại lời giải, sửa lại những lỗi và kẽ hở suy luận trong bài. Yau cho rằng một nhà toán học phải hết sức dứt khoát và phải ghi dấu ấn trong đầu các sinh viên về tầm quan trọng của tính chính xác theo từng bước (step-by-step rigor).

Trong Toán học, có hai cách để có được một công trình đóng góp mang tính sáng tạo mới mẻ được công nhận. Cách thứ nhất là bạn đưa ra được một chứng minh mới mẻ. Cách thứ hai là xác định và giải quyết được những kẽ hở mang tính quyết định trong một chứng minh của tác giả khác. Tuy vậy, chỉ có những kẽ hở toán học thực sự: những dẫn giải sai lầm hay bị thiếu, có thể được coi là cơ sở cho sự sáng tạo mới mẻ. Còn việc làm rõ thêm các bước triển khai tắt hay rút gọn, để làm cho bài chứng minh trở nên rõ ràng hơn, thì không được coi là một đóng góp mới mẻ. Vào năm 1993, khi Andrew Wiles phát hiện ra một kẽ hở trong bài chứng minh định đề Fermat cuối cùng của mình, thì việc sửa lại lỗi này đã lại là một bài toán công bằng, mở cho tất cả mọi người, cho đến năm sau, chính Wiles là người sửa được nó. Trái lại, hầu hết các nhà toán học đồng ý rằng, nếu những bước diễn giải ngầm trong một bài chứng minh được một chuyên gia là cho rõ ràng hơn, thì đó chỉ là lỗi trong triển khai, và bài chứng minh vẫn phải được công nhận là chính xác và hoàn hảo.

Đôi lúc người ta khó có thể phân biệt được một kẽ hở về toán và một kẽ hở trong diễn giải. Trong ít nhất một bận, Yau và các đệ tử của mình đã tỏ ra nhầm lẫn giữa hai điểm này và đưa ra tuyên bố tác quyền mà các nhà toán học khác cho là chưa thỏa đáng. Năm 1996, một nhà hình học trẻ ở đại học Berkeley tên là Alexander Givental đã chứng minh được một giả thuyết toán học về đối xứng gương, một khái niệm căn bản trong lý thuyết dây. Mặc dù những nhà toán học khác thấy lời giải của Givental là khá rối rắm, nhưng họ vẫn lạc quan tin rằng anh đã giải được bài toán này. Như một nhà toán học đã nói, “Lúc đó không có ai nói rằng lời giải này sai hay thiếu cả.”

Vào mùa hè năm 1997, Kefeng Liu, một học trò cũ của Yau đang dạy ở trường Stanford, đã có một buổi thảo luận về đối xứng gương ở trường Harvard. Theo lời của hai nhà hình học có mặt trong số khán giả, Liu đã đưa ra một lời giải giống một cách đáng kinh ngạc với lời giải của Givental, và nói đó là một bài báo mà anh ta đã viết chung với Yau và một học trò khác của Yau. “Liu có đề cập đến Givental, nhưng chỉ với vai trò như một người khác trong một danh sách dài những người có cống hiến cho lĩnh vực,” một nhà hình học khác nói. (Liu luôn giữ vững lập trường rằng lời giải của anh ta rất khác với lời giải của Givental.)

Vào cùng khoảng thời gian này, Givental nhận được một email do Yau và các cộng sự của ông ta ký giải thích rằng họ đã thấy không thể nào mà hiểu được những lập luận của anh ấy cũng như cách ký hiệu của anh khá lung tung, và tự họ đã đưa ra một lời giải của riêng họ. Họ khen Givental về “ý tưởng rất thông minh” của anh ấy và viết, “Trong bản cuối cùng của bài viết của chúng tôi, cống hiến quan trọng của anh sẽ được công nhận.”

Một vài tuần sau đó, bài báo, “Nguyên tắc Gương I,” đã xuất hiện trên Tạp chí Toán học Châu Á, một tạp chí do Yau đồng biên tập. Trong bài báo này, Yau và các đồng tác giả đã miêu tả các kết quả của họ là “lời giải hoàn chỉnh đầu tiên” của giả thuyết gương. Họ chỉ nhắc qua đến công trình của Givental. “Thật không may,” họ viết, lời giải của anh ấy, “dù đã được đọc bởi nhiều chuyên gia xuất sắc, vẫn chưa hoàn chỉnh.” Tuy nhiên, họ không chỉ ra một sự thiếu hụt toán học nào cụ thể.

Givental ngạc nhiên quá lắm. “Tôi muốn biết xem họ phản đối về cái gì,” anh ấy nói với chúng tôi. “Chẳng phải là để phát giác họ hay để tự bảo vệ tôi.” Vào tháng 3 năm 1998, anh ấy đã xuất bản một bài báo trong đó có một phụ chú dài 3 trang trong đó anh chỉ ra một số điểm giống nhau giữa lời giải của Yau và lời giải của anh. Một vài tháng sau, một nhà toán học trẻ ở đại học Chicago đã được các đồng nghiệp lớn tuổi hơn yêu cầu điều tra vụ tranh chấp này đã kết luận là lời giải của Givental là hoàn chỉnh. Yau nói rằng ông ta đã nghiên cứu lời giải trong nhiều năm với các học trò của ông ta và rằng họ đã đạt được kết quả một cách độc lập so với Givental. “Chúng tôi có những ý tưởng của riêng chúng tôi, và chúng tôi đã viết các ý tưởng đó ra,” ông ta nói.

Cũng vào khoảng thời gian này, Yau có một vụ va chạm lớn đầu tiên với Chern và ngành toán Trung Quốc. Trong nhiều năm, Chern đã hy vọng có thể mang đại học của Hiệp hội Toán Quốc tế (IMU) tới Bắc Kinh. Theo lời của một số nhà toán học tham gia nhiều họat động trong IMU vào lúc đó, Yau đã có một nỗ lực phút chót để yêu cầu đại hội diễn ra ở Hồng Kông. Nhưng ông ta đã không thành công trong việc thuyết phục được đủ số đồng nghiệp ủng hộ đề nghị của mình, và cuối cùng thì IMU đã quyết định tổ chức đại hội năm 2002 ở Bắc Kinh. (Yau đã chối là ông ấy đã gắng đưa đại hội về tổ chức ở Hồng Kông.) Trong số các đại biểu mà IMU đã chỉ định vào một nhóm có trách nhiệm lựa chọn những người sẽ phát biểu trong đại hội, có một trong những học trò thành đạt nhất của Yau là Gang Tian, người đã từng ở NYU với Perelman, và bây giờ là một giáo sư ở MIT. Hội đồng tổ chức chủ nhà ở Bắc Kinh cũng đã đề nghị Tian phát biểu trong ngày khai mạc đại hội.

Yau đã rất bất ngờ vì điều này. Vào tháng Ba năm 2000 ông ta đã xuất bản một điều nghiên về tình hình nghiên cứu mới đây trong lĩnh vực của ông ta mà trong đó có đầy những lời nhắc hoành tráng đến Tian và những dự án chung của hai người. Yau trả đũa bằng cách tổ chức hội nghị đầu tiên của ông ta về lý thuyết dây, khai mạc ở Bắc Kinh chỉ một vài ngày trước khi đại hội toán học khai mạc, vào cuối tháng 8 năm 2002. Ông ta đã thuyết phục Stephen Hawking và một số nhà khoa học được giải Nobel khác tham dự, và trong nhiều ngày các tờ báo Trung Quốc đăng đầy ảnh của các nhà khoa học nổi tiếng. Yau còn kiếm cách để cho nhóm của ông ta được gặp với Giang Trạch Dân. Một nhà toán học giúp tổ chức đại hội toán đã nhớ lại rằng dọc xa lộ nối Bắc Kinh với sân bay có “biển quảng cáo với ảnh của Stephen Hawking trưng khắp mọi nơi.”

Mùa hè đó, Yau không nghĩ nhiều về Giả thuyết Poincaré. Ông ta đặt niềm tin vào Hamilton, mặc dù bước tiến của ông này chậm chạp. “Hamilton là một người bạn tốt,” Yau nói với chúng tôi như thế ở Bắc Kinh. “Anh ấy với tôi còn hơn cả là bạn. Anh ấy là anh hùng. Anh ấy đúng là một mình một kiểu. Chúng tôi đang hợp tác để hoàn thành lời giải của chúng tôi. Hamilton đã nghiên cứu vấn đề này trong 25 năm. Anh làm việc thì anh sẽ mệt. Có lẽ ông ấy hơi mệt tí – và ông ấy muốn nghỉ ngơi chút ít.”

Thế rồi vào ngày 12 tháng 11 năm 2002, Yau nhận được một email từ một nhà toán học Nga mà tên người này ông không nhớ được ra ngay. “Tôi xin được ông lưu ý về bài viết của tôi,” email này viết.

Vào ngày 11 tháng 11, Perelman đã đăng một bài viết dài 39 trang với tên gọi “Công thức entropy cho dòng Ricci và các ứng dụng hình học của nó,” (“The Entropy Formula for the Ricci Flow and Its Geometric Applications”) lên trang Xiv.org, một trang web mà các nhà toán học thường đăng các bài báo sắp được đăng của mình – những bài báo chờ được đăng trong những tạp chí đề cử. Anh đã gửi qua email một đoạn tóm tắc bài viết của mình tới khoảng một tá các nhà toán học ở Hoa Kỳ – bao gồm cả Hamilton, Tian, và Yau – không ai trong số họ đã có liên hệ gì với anh trong nhiều năm. Trong phần tóm luận, anh đã giải thích rằng anh đã viết “một phác học của một lời giải bách hóa tổng hợp” của giả thuyết hình hóa.

Perelman đã không đề cập đến hay cho bất kỳ ai xem lời giải. “Tôi không có bạn với người ta tôi có thể thảo luận việc này,” anh ấy nói ở St. Petersburg. “Tôi không muốn thảo luận công trình của tôi với những người mà tôi không tin.” Andrew Wiles cũng đã giữ bí mật việc ông ấy đang cố gắng giải định lý cuối cùng của Fermat nhưng ông ấy có một đồng nghiệp giúp kiểm tra lời giải trước khi công bố nó. Perelman, bằng việc gửi lời giải của một trong những bài toán quan trọng nhất trong toán học một cách “xuề xòa” lên mạng Internet không chỉ đi ngược lại những thông lệ của giới hàn lâm mà còn chấp nhận đối đầu với rủi ro to lớn. Nếu như lời giải sai, anh ấy sẽ bị làm nhục ở công cộng, và cũng không có cách nào ngăn chặn một nhà toán học khác sửa chữa các lỗi sai rồi tuyên bố thắng cuộc. Nhưng Perelman nói là anh cũng không đặc biệt lo lắng. “Suy nghĩ của tôi là thế này: nếu tôi mắc lỗi và ai đó dùng kết quả của tôi để đưa ra một lời giải đúng thì tôi sẽ rất vui,” anh ấy nói. “Tôi chưa bao giờ bước chân ra đi chỉ để trở thành người duy nhất giải được Giả thuyết của Poincaré.”

Gang Tian đang ở trong văn phòng tại MIT khi anh ấy nhận được email của Perelman. Anh và Perelman nói chung đã thân thiện với nhau từ 1992, khi họ còn cùng ở NYU và thường tham gia những seminar toán hàng tuần ở Princeton. “Tôi nhận thức được tầm quan trọng của nó ngay lập tức,” Tian nói về bài viết của Perelman. Tian bắt đầu đọc bài báo và thảo luận với các đồng nghiệp, những người này cũng đều phấn chấn.

Vào ngày 19 tháng 11, Vitali Kapovitch, một nhà hình học, đã email cho Perelman:
Chào Grisha, xin lỗi phải làm phiền cậu nhưng nhiều người đang hỏi tớ về bản thảo của cậu “Công thức entropy cho dòng Ricci…” Không biết tôi hiểu có đúng không là mặc dù cậu chưa thể hoàn thành tất cả các bước trong chương trình Hamilton cậu đã có thể làm đủ đến mức mà sử dụng một vài kết quả tổng quát cậu có thể chứng minh được vấn đề hình hóa?
Vitali
Câu trả lời của Perelman, gửi ngày hôm sau, rất ngắn gọn: “Đúng vậy. Grisha.”

Sự thực là những gì mà Perelman post lên Internet chỉ là phần đầu của lời giải của anh ấy. Nhưng chỉ thế cũng đã đủ để các nhà toán học nhận ra rằng anh ấy đã nghĩ ra cách giải Giả thuyết Poincaré. Barry Mazur, nhà toán học ở Harvard, đã sử dụng hình ảnh của một chiếc cản ở mũi xe ô tô để miêu tả thành quả của Perelman: “Giả sử ô tô của anh có một cái cản bị móp và anh gọi cho thợ để hỏi xem làm thế nào để nắn cho nó phẳng lại. Tay thợ chắc sẽ khó có thể nói được cho anh là phải làm gì qua điện thoại. Anh chắc sẽ phải mang xe đến xưởng cho anh ta xem. Khi đó thì anh ta có thể nói cho anh biết là cần phải đập vài nhát ở chỗ nào. Những gì mà Hamilton đưa ra và Perelman hoàn tất là một quy trình độc lập với những thứ riêng biệt của các vết móp. Nếu anh áp dụng dòng Ricci lên một không gian 3 chiều thì nó sẽ nắn và làm phẳng không gian này. Tay thợ sẽ chẳng cần phải nhìn thấy cái xe mà chỉ cần áp dụng phương trình.” Perelman đã chứng minh rằng những “điếu xì gà” làm đau đầu Hamilton không thể xảy ra, và anh ấy cũng đã chỉ ra rằng vấn đề “cái cổ” cũng có thể được giải bằng một loạt các phép phẫu thuật toán học tinh vi: cắt bỏ đi những “vùng kỳ dị” rồi nối vá những phần mép xần xùi. “Giờ chúng ta đã có một quy trình để làm phẳng mọi thứ và ở những điểm quan trọng, kiểm soát những “vết nứt vỡ”,” Mazur nói.

Tian đã viết thư cho Perelman, đề nghị anh ấy giảng bài viết của mình tại MIT. Các đồng nghiệp ở Princeton và Stony Brook cũng đưa ra những lời mời tương tự. Perelman đã chấp nhận tất cả các lời mời và có một tháng đi giảng bắt đầu từ tháng 4 năm 2003. “Tại sao không?” anh ấy nhún vai bảo chúng tôi. Khi nói về toán nói chung, Fedor Nazarov, một nhà toán học ở đại học Michigan State đã nói, “Sau khi anh giải xong một bài toán, anh cảm thấy một mong muốn to lớn được nói về nó.

Hamilton và Yau đều ngạc nhiên quá mức với tuyên bố của Perelman. “Chúng tôi cảm thấy như không ai có thể khám phá ra lời giải,” Yau đã nói với chúng tôi như vậy ở Bắc Kinh. “Ấy thế mà hồi năm 2002, Perelman đã nói rằng anh ta đã công bố một cái gì đó. Đơn giản mà nói thì anh ta đã đi tắt mà không phải làm hết những thứ tính toán xác định tỉ mẩn mà chúng tôi đã làm.” Hơn thế nữa, Yau phàn nàn, lời giải của Perelman “được viết một cách cẩu thả đến nỗi chúng tôi chả hiểu gì cả.”

Chuyến đi giảng dạy tháng Tư của Perelman được các nhà toán học và giới báo chí coi như một sự kiện quan trọng. Trong số những khán giả tham gia buổi giảng của anh ở Princeton có mặt John Ball, Andrew Wiles, John Forbes Nash, Jr., người đã chứng minh định lý [Riemannian embedding theorem], và and John Conway, người đã phát minh ra trò chơi tế bào tự nhân tên Life. Điều làm cho nhiều người trong số khán giả ngạc nhiên là Perelman không hề đề cập gì đến Giả thuyết Poincaré. “Lại mà xem một người này vừa chứng minh được một định lý nổi tiếng thế giới mà không hề đề cập gì đến việc đó hết,” Frank Quinn, một nhà toán học ở trường Virginia Tech đã nói. “Anh ta trình bày một vài điểm chính và một vài tính chất đặc biệt, sau đó trả lời vài câu hỏi. Anh ấy đang cố tạo lập sự khả tín. Nếu như anh ta lại vỗ ngực mà hô, “Tôi đã giải được nó,” anh ta chắc sẽ nhận được nhiều sự kháng cự từ mọi người.” Ông Quinn nói thêm, “Mọi người đều chờ đợi sẽ nhìn thấy điều gì kỳ lạ. Perelman bình thường hơn là người ta trông đợi.”

Điều làm Perelman thất vọng là Hamilton đã không có mặt tại buổi thuyết trình đó và cả ở buổi tiếp theo tại ĐH Stony Brook. “Tôi tự coi mình là đệ tử của Hamilton, dù cho chưa khi nào được ông ấy cho phép,” Perelman nói với chúng tôi. Thế nhưng John Morgan từ ĐH Columbia, nơi Hamilton đang giảng dạy lúc đó, đã có mặt tại trong cử tọa của Stony Brook, và đã mời Perelman đến thuyết trình tại ĐH Colombia. Perelman đã chấp nhận lời đề nghị này với mong muốn được gặp Hamilton. Buổi nói chuyện được tổ chức vào buổi sáng thứ Bảy. Hamilton đã đến muộn và không hỏi một câu gì trong suốt cuộc bàn luận dài ngay sau bài trình bày của Perelman và trong bữa trưa sau đó. “Tôi có cảm tưởng rằng Hamilton chỉ độc phần đầu tiên của bài chứng minh của tôi,” Perelman kể lại.

Vào ngày 18 tháng Tư năm 2003, trong một kỳ của tạp chí Science, Yau đã nói về bài chứng minh của Perelman như sau: “Rất nhiều chuyên gia, tuy không phải là tất cà, dường như tin chắc rằng Perelman đã loại bỏ được các “điếu xì-gà” và vá được những “cái cổ hẹp”. Nhưng họ không chắc lắm về việc anh ta có thể kiểm soát được số lượng các phép phẫu thuật toán học. Đây có thể chính là một sai xót chết người của bài chứng minh, Yau cảnh báo, với chú ý về việc rất nhiều những nỗ lực khác trong việc giải quyết giả thuyết Poincaré đã vướng mắc tại những bước dẫn giải thiếu sót tương tự.” Các bài chứng minh toán học phải luôn bị hoài nghi, trước khi các nhà toán học có cơ hội rà soát lại toàn bộ quá trình chứng minh, Yau nói với chúng tôi. Đến lúc ấy, Yau nói, “nó không phải là Toán học, nó là một tín ngưỡng.”

Đến giữa tháng Bảy, Perelman đăng hai phần cuối cùng của bài chứng minh lên mạng Internet, và các nhà toán học bắt đầu công việc kiểm chứng và phản biện một cách cẩn thận các bước dẫn giải của bài chứng minh. Tại Mỹ, ít nhất 2 nhóm chuyên gia đã tình nguyện thực hiện các công việc này: Gang Tian (cũng là đối thủ của Yau) và John Morgan; và một vài nhà nghiên cứu khác tại ĐH Michigan. Cả hai dự án kiểm chứng này đều được Viện Clay hỗ trợ, và Viện này cũng có kế hoạch xuất bản thành sách các nghiên cứu đánh giá của Tian và Morgan. Quyển sách này, ngoài mục đích cung cấp cho các nhà toán học khác những chỉ dẫn về lô-gích của Perelman, còn có thể sẽ giúp anh đoạt được món tiền thưởng 1 triệu đô-la cho việc giải quyết Giả thuyết Poincaré. (Để đủ tư cách nhận giải, bài chứng minh phải được đăng trong một tạp chí được phê bình kỹ lưỡng (peer-reviewed venue) và vượt qua được những phản biện của cộng đồng Toán học trong vòng 2 năm.)

Vào ngày 10 tháng Chín năm 2004, hơn một năm sau khi Perelman trở về St. Petersburg, anh nhận được một bức email dài từ Tian. Tian viết trong thư rằng anh vừa mới kết thúc một chương trình chuyên đề kéo dài 2 tuần tại Princeton, dành riêng cho bài chứng minh của Perelman. “Tôi nghĩ là chúng tôi đã thấu hiểu bài chứng minh của anh,” Tian viết. “Nó đúng rồi.”

Perelman không trả lời Tian. Như anh giải thích với chúng tôi, “Tôi không lo lắng quá nhiều. Đây là một bài toán nổi tiếng. Một số người cần có thời gian để quen được với sự thật là bài toán này không còn là một giả thuyết nữa. Tôi tự xác định rằng mình nên đứng ngoài các cuộc kiểm chứng và không tham dự các buổi hội thảo thế này. Đối với tôi, điều quan trọng là: tôi không được gây tác động đến quá trình kiểm tra bài chứng minh.”

Vào tháng Bảy năm 2004, Quỹ Khoa học Quốc gia đã cấp cho Yau, Hamilton và vài học trò của Yau một dự án gần 1 triệu đô-la cho việc nghiên cứu và ứng dụng phát kiến đột phá của Perelman. Cả một nhánh trong Toán học đã phát triển dựa trên những cố gắng giải quyết Giả thuyết Poincaré, và bây giờ nhánh này có vẻ như sẽ đi vào quên lãng. Michael Freedman, người đoạt giải Fields cho việc chứng minh giả thuyết Poincaré cho chiều thứ 4, đã nói với tạp chí Times rằng bài chứng minh của Perelman là một nỗi đau nhỏ cho một nhánh đặc biệt trong nghành hình học tô-pô. Yuri Burago cũng nói rằng, “Bài chứng minh đã xóa sổ nhánh này. Sau khi bài chứng minh hoàn tất, rất nhiều nhà toán học sẽ phải chuyển sang những nhánh khác trong Toán học.

5 tháng sau, Chern qua đời, và Yau đã có những cố gắng hết sức cay cú nhằm mục đích chắc chắn rằng ông ta – chứ không phải Tian – được công nhận là người kế vị Chern. “Tất cả là vì địa vị đứng đầu của họ tại Trung Quốc và vai trò lãnh đạo của họ trong số những người Trung Kiều,” Joseph Kohn, nguyên trưởng khoa Toán ĐH Princeton nói. “Yau không ghen tỵ với Tian về chuyên môn, nhưng ông ta ghen tỵ với ảnh hưởng của Tian tại Trung Quốc.”

Cho dù, từ khi còn là một đứa trẻ sơ sinh, nhiều nhất Yau cũng chỉ có mặt tại Trung Quốc có vài tháng mỗi lần, ông tin chắc rằng với vị thế người Trung Quốc duy nhất đoạt giải Fields, ông phải là người kế vị Chern. Trong một bài phát biểu tại ĐH Zhejiang tại Hàng Châu trong mùa hè năm 2004, ông gợi lại cho cử tọa về nguồn cội Trung hoa của mình. “Khi tôi bước xuống máy bay, tôi chạm vào mặt đất của Bắc Kinh, và tôi cảm thấy một niềm vui vô bờ khi được trở lại quê hương của mình,” ông nói. “Tôi rất tự hào để nói rằng khi tôi được trao tặng Huy chương Fields, tôi không mang hộ chiếu của nước nào khác, và phải được công nhận là người Trung Quốc.”

Mùa hè sau đó, Yau về Trung Quốc, và trong một loạt phỏng vấn với các nhà báo, ông tấn công Tian và các nhà toán học tại ĐH Peking. Trong một bài báo đăng trên một tờ báo khoa học Bắc Kinh với tựa đề ““SHING-TUNG YAU LÊN ÁN THAM NHŨNG TRONG GIớI HÀN LÂM TRUNG QUốC,” Yau gọi Tian là “một sự bừa bãi kinh khiếp.” Ông cáo buộc Tian cùng một lúc đã giữ chức vị giáo sư tại nhiều nơi và đã đòi 125 nghìn đô-la cho vài tháng làm việc tại một trường đại học tại Trung Quốc, trong khi các sinh viên phải sống cả tháng chỉ với vài trăm đô la. Ông cũng buộc tội Tian gian lận học bổng, ăn cắp ý tưởng và ép buộc các nghiên cứu sinh phải đề tên mình vào bài báo của họ. “Bởi vì tôi đã ủng hộ anh ta trong suốt quá trình cho đến khi anh ta thành danh trong giới hàn lâm, tôi cảm thấy mình cũng phải chịu trách nhiệm cho những cư xử không đứng đắn của Tian,” một nhà báo trích lời giải thích của Yau cho việc tại sao ông đã phải nói ra những điều này.

Trong một phỏng vấn khác, Yau kể lại việc Hội đồng trao giải Fields đã không xem xét đến trường hợp của Tian trong năm 1988 và việc ông ta đã vận động cho Tian với các hội đồng trao giải khác gồm cả một hội đồng của Quỹ Khoa học quốc gia, nơi đã trao thưởng 500 nghìn đô la cho Tian vào năm 1994.

Tian hết sức hoảng hốt khi bị Yau tấn công, nhưng vì đã là học trò của Yau, Tian cảm thấy không thể làm được gì. “Những lời buộc tội của Yau là hoàn toàn vô căn cứ,” Tian nói với chúng tôi. Và anh nói thêm rằng, “tôi có cội rễ sâu xa trong văn hóa Trung Quốc. Thầy là thầy, và luôn đáng kính. Rất khó khăn cho tôi khi nghĩ mình sẽ phải làm gì.”

Trong thời gian ở Trung Quốc, Yau đến thăm Xi-Ping Zhu, một học trò cũ (protégé) của ông, người đang là trưởng khoa toán ĐH Sun Yat-sen. Trong mùa xuân năm 2003, sau khi Perelman hoàn thành đợt thuyết trình của mình tại Mỹ, Yau đã tuyển Zhu và một đệ tử khác của mình, Huai-Dong Cao giáo sư ĐH Lehigh, vào công việc kiểm chứng lời giải của Perelman. Zhu và Cao đã nghiên cứu dòng Ricci cùng với Yau. Yau đặc biệt quan tâm đến Zhu, người mà ông tin rằng sẽ trở thành một nhà toán học đầy hứa hẹn. “Chúng ta phải tìm hiểu xem bài báo của Perelman có toàn vẹn không,” Yau nói với họ. Yau đã sắp xếp cho Zhu sang ĐH Havard nghiên cứu trong năm học 2005-2006. Tại đây Zhu đã có một buổi báo cáo về bài chứng minh của Perelman và tiếp tục công việc của mình với Cao.

Vào ngày 13 tháng Tư năm nay (2006), 31 nhà toán học trong ban biên tập Tạp chí Toán học Châu Á (A.J.M.) nhận được một e-mail ngắn từ Yau và vị đồng chủ biên Tạp chí. Họ được thông báo rằng họ sẽ có 3 ngày để cho lời bình luận về một bài báo của Xi-Ping Zhu và Huai-Dong Cao có tên “Lý thuyết Hamilton-Perelman về dòng Ricci: Các giả thuyết Poincaré và hình học hóa,” Yau đã lên kế hoạch đăng bài báo này trong tạp chí. Không hề có bản sao bài báo hay phản biện của các nhà phê bình, hay một bản tóm lược gì được đính kèm trong e-mail. Ít nhất đã có một thành viên ban biên tập muốn được xem bài báo này, nhưng được trả lời việc đó là không thể. Vào ngày 16 tháng Tư, Cao nhận đuợc một tin nhắn của Yau nói rằng bài báo đã được chấp nhận cho đăng trên tạp chí A.J.M, và một bản tóm lược đã được đưa lên trang chủ của tạp chí.

Một tháng sau, Yau ăn trưa tại Cambridge cùng với Jim Carlson, giám đốc của Viện Clay. Ông nói với Carlson rằng ông muốn trao đổi một bản sao bài báo của Zhu và Cao lấy một bản sao của bản thảo công trình kiểm chứng của Tian và Morgan. Yau đã nói với chúng tôi rằng ông ấy lo ngại Tian có thể đánh cắp một số thứ từ công trình của Zhu và Cao, và ông muốn cả hai bên cùng được biết bên kia đã làm những gì. “Tôi đã dùng bữa trưa với Carlson để yêu cầu trao đổi hai bản thảo nhằm mục đích chắc chắn rằng không bên nào sao chép bên nào,” Yau nói. Carlson đã tỏ ra chần chừ và giải thích với Yau rằng Viện Clay vẫn chưa nhận được bản thảo hoàn thiện của Tian và Morgan.

Đến cuối tuần sau đó, tựa đề bài báo của Zhu và Cao trên trang chủ tạp chí A.J.M đã được đổi thành “Bài chứng minh hoàn thiện các giả thuyết Poincaré và hình học hóa: Ứng dụng của Lý thuyết Hamilton-Perelman về dòng Ricci.” Phần tóm lược của bài báo cũng đã được sửa lại. Một câu mới đã được thêm vào: “bài chứng minh này nên được coi là một thành tựu to lớn của Lý thuyết Hamilton-Perelman về dòng Ricci.”

Bài báo của Zhu và Cao dài hơn 300 trang và chiếm trọn kỳ tháng 6 của tạp chí A.J.M. Nội dung chủ yếu của bài báo này là xây dựng lại các kết quả của Hamilton về dòng Ricci – bao gồm cả các kết quả Perelman đã sử dụng trong bài chứng minh của mình – và phần lớn bài chứng minh giả thuyết Poincaré của Perelman. Trong phần giới thiệu của bài báo, Zhu và Cao công nhận công lao của Perelman với việc “đã có những ý tưởng mới mẻ trong việc tìm ra các bước quan trọng để giải quyết được các chướng ngại chủ yếu trong chương trình của Hamilton.” Tuy vậy họ cũng viết rằng, họ đã buộc phải “thay đổi một số lập luận then chốt của Perelman bằng những cách tiếp cận mới của chính chúng tôi, bởi lẽ – tuy những lập luận gốc rễ này của Perelman có vai trò vô cùng quan trọng cho việc hoàn chỉnh lời giải cho giả thuyết hình học hóa – chúng tôi đã không thể hiểu nổi chúng.” Những nhà toán học quen thuộc với bài chứng minh của Perelman đã có tranh cãi về ý kiến cho rằng Zhu và Cao đã có những đóng góp mới mẻ đáng kể cho việc chứng minh giả thuyết Poincaré. “Perelman đã làm điều đó rồi và những cái anh ta làm là hoàn hảo và chính xác,” John Morgan nói. “Tôt không thấy Zhu và Cao đã làm thêm được điều gì khác.”

Vào đầu tháng Sáu, Yau bắt đầu quảng bá cho bài chứng minh của hai học trò một cách công khai. Ngày 3 tháng Sáu, tại viện toán của mình tại Bắc Kinh, Yau tổ chức học báo. Yau, cũng là chủ tịch của viện toán, trong một cố gắng giải thích về phần đóng góp tương ứng của các nhà toán học đã nghiên cứu giải quyết giả thuyết Poincaré, đã nói rằng, “Hamilton đóng góp hơn 50%, người Nga, Perelman đóng góp khoảng 25%, và người Trung Quốc: Yau, Zhu và Cao, đóng góp khoảng 30%.” (Hiển nhiên rằng một bài tính cộng đơn giản đôi khi cũng có thể gây khó khăn ngay cả cho một nhà toán học.) Yau cũng nói thêm rằng, “Với tầm quan trọng của giả thuyết Poincaré, 30% đóng góp của các nhà toán học Trung Quốc không phải là một việc dễ dàng chút nào. Đó là một đóng góp hết sức quan trọng.”

Vào ngày 12 tháng Sáu, một tuần trước hội thảo về Lý thuyết dây của Yau tại Bắc Kinh, nhật báo South China Morning Post đã viết “các nhà toán học Trung hoa tham gia giải quyết ‘bài toán của thiên niên kỷ’ sẽ trình bày các phát kiến và phương pháp luận với nhà vật lý Stephen Hawking, … Yau Shing-Tung, người đã mời giáo sư Hawking sang thăm và cũng là thầy của giáo sư Cao, đã thông báo vào hôm qua rằng ông sẽ trình bày các kết quả với giáo sư Hawking, và tin rằng những kiến thức mới mẻ này sẽ hữu dụng cho những nghiên cứu về sự hình thành các lỗ đen của Hawking.”

Vào buổi sáng ngày Yau giảng bài trong hội thảo, ông nói với chúng tôi rằng, “Chúng tôi muốn mọi người hiểu được những đóng góp của chúng tôi. Và đây cũng là một sự khuyến khích cho Zhu, người đang làm việc tại Trung Quốc và đã hoàn thành một nghiên cứu thật sự ngoạn mục. Ý tôi là, đó là một nghiên cứu quan trọng về một bài toán thế kỷ, nhiều khả năng sẽ có những liên hệ quan trọng trong vài thế kỷ nữa. Nếu bạn có thể kèm tên của mình vào bằng một cách nào đó, thì đó là một sự đóng góp.

E. T. Bell, tác giả của quyển sách “Những nhân vật trong Toán học,” một biên niên sử dí dỏm của lĩnh vực Toán học xuất bản năm 1937, đã có lần than vãn về “những cuộc tranh cãi vụn vặt về tác quyền ưu tiên đã làm biến dạng lịch sử khoa học.” Nhưng khi đó, khi mà e-mail, nhật ký mạng, và các trang web còn chưa có, thường có một sự đúng mực trong các tranh cãi này. Năm 1881, chính Poincaré – lúc đó đang làm việc tại ĐH Caen – đã có một cuộc khẩu chiến với Felix Klein, một nhà toán học Đức tại Leipzig. Khi ấy, Poincaré đăng một vài bài báo trong đó ông đã gán tên cho những hàm số xác định “Fuchsian,” với tên của một nhà toán học khác. Klein đã viết thư cho Poincaré, nói rằng Klein và các đồng nghiệp cũng đã thực hiện những nghiên cứu quan trọng về những hàm số này. Và thế là một cuộc gửi qua gửi lại những bức thư với lời lẽ lịch sự đã xảy ra giữa Caen và Leipzig. Những lời cuối của Poincaré về vấn đề tranh cãi này là một lời trích dẫn từ tác phẩm “Faust” của Goethe: “Name ist Schall und Rauch.” Dịch thoáng ra, câu này tương đương với câu “What’s in a name?” (“Cái tên thì có quan trọng gì?”) của Shakespeare.

Về bản chất, đây cũng chính là điều các bạn của Yau tự hỏi mình. “Tôi cảm thấy khó chịu với việc Yau có vẻ như cần nhiều tiếng tăm hơn nữa,” Dan Stroock tại MIT, đã nói. “Yau đã làm được những điều kỳ diệu, và đã được tưởng thưởng xứng đáng cho những điều đó. Ông ta đã đoạt được tất cả các giải thưởng. Tôi thấy Yau trở nên tầm thường khi ông ta có vẻ như đang cố gắng để được công nhận rằng mình cũng có đóng góp trong việc giải quyết giả thuyết Poincaré.” Stroocj chỉ ra rằng, 25 năm trước Yau đã ở trong tình thế giống như Perelman hiện giờ. Kết quả nổi tiếng nhất của Yau – về các manifold Calabi-Yau – có vai trò hết sức quan trọng trong vật lý lý thuyết. “Calabi đã phác thảo một chương trình,” Stroock nói. “Thật ra mà nói, Yau chính là Perelman trong bài toán Calabi. Hiện tại, ông ấy lại ở phía bên kia. Ông ta đã có thể nhận được sự công nhận về công lao to lớn cho việc giải quyết bài toán Calabi-Yau, mà không có chút gì phải ăn năn. Vậy mà bây giờ, Yau có vẻ như đang tước đoạt những công lao của Perelman trong việc giải quyết hoàn toàn giả thuyết Poincaré. Tôi không biết rằng có khi nào Yau nhận thấy sự giống nhau giữa 2 trường hợp này không.”

Toán học dựa trên sự hợp tác nhiều hơn so với nhiều nghành khác. Trong hầu hết các bài toán, cần phải có những sự thấu hiểu vấn đề của một vài nhà toán học để giải được chúng, và đã có những tiêu chuẩn – nghiêm ngặt như chính những quy tắc trong Toán học – được đặt ra để xác nhận sự đóng góp của mỗi cá nhân. Như Perelman đã nói, “Nếu tất cả mọi người đều thành thật, thì việc chia xẻ ý tưởng là dĩ nhiên.” Rất nhiều nhà toán học xem cách cư xử của Yau trong việc giải quyết giả thuyết Poincaré như một sự vi phạm tiêu chuẩn đạo đức cơ bản này, và họ lo ngại rằng nó sẽ gây ra nhiều thiệt hại cho Toán học. “Chính trị, quyền lực và sự điều khiển không có vai trò chính đáng trong cộng đồng của chúng tôi, và chúng đe dọa sự toàn vẹn của Toán học,” Phillip Griffiths nói.

Perelman thích đi xem trình diễn opera tại Nhà hát Mariinsky, St. Petersburg. Ngồi tại hàng ghế cao phía sau, anh không thể thấy rõ được vẻ mặt hay trang phục của các nghệ sĩ. Thế nhưng anh chỉ quan tâm đến giọng hát của họ, và anh nói rằng, so với những chỗ khác, thì tại chỗ anh ngồi có thể nghe được những âm thanh hay nhất. Perelman cũng đang quan sát cộng đồng toán học – và phần lớn thế giới này – từ phía xa (như là anh đang nghe opera vậy.)

Trước khi đến St. Petersburg, vào ngày 23 tháng Sáu, chúng tôi đã gửi vài tin nhắn đến địa chỉ e-mail của Perelman tại viện Steklov. Chúng tôi đã bắt taxi đến chung cư nơi anh ở, và vì không muốn đường đột xâm phạm sự riêng tư của anh, chúng tôi đã để một quyển sách tổng hợp các bài báo của John Nash vào hòm thư của Perelman, cùng với nó là một bưu thiếp viết rằng chúng tôi sẽ ngồi đợi anh tại băng ghế ở sân chơi gần kề vào buổi chiều hôm sau. Ngày hôm sau, sau khi không thấy Perelman xuất hiện, chúng tôi đã để lại một hộp trà trân châu và một tờ giấy có ghi một vài câu hỏi mà chúng tôi muốn trao đổi với anh. Chúng tôi đã lặp lại việc này thêm một lần nữa. Cuối cùng, tin rằng Perelman đã đi nơi khác, chúng tôi quyết định ấn chuông cửa nhà anh với hy vọng rằng ít nhất sẽ nói chuyện được với mẹ anh. Một người đàn bà trả lời và mở cửa cho chúng tôi vào nhà. Perelman gặp chúng tôi tại phòng trước với ánh đèn mờ của căn hộ. Anh đã không kiểm tra địa chỉ e-mail tại Viện Steklov từ nhiều tháng nay, và cũng không kiểm tra hòm thư của mình cả tuần nay. Anh không biết chúng tôi là ai.

Chúng tôi hẹn gặp nhau vào lúc 10 giờ sáng hôm sau tại Nevsky Prospekt. Từ nơi này, Perelman, trong chiếc áo khoác thể thao và đôi giày da đóng đinh, đưa chúng tôi đi dạo khắp thành phố trong suốt 4 tiếng đồng hồ. Anh có lời bình luận cho mọi tòa nhà và khung cảnh chúng tôi đi qua. Sau đó chúng tôi đi đến xem một cuộc thi hát kéo dài 5 tiếng tại St. Petersburg Conservatory. Perelman nói với chúng tôi rằng anh đã từ bỏ cộng đồng toán học và không coi mình là một nhà toán học chuyên nghiệp nữa. Anh đề cập đến một cuộc tranh luận của mình vài năm về trước với các đồng nghiệp về việc người ta xác nhận công lao của một tác giả của một bài chứng minh đặc biệt như thế nào, và anh nói rằng anh đã khá chán nản với những tiêu chuẩn đạo đức lỏng lẻo trong Toán học. “Những người bị coi là xa lạ lại không phải là những người vi phạm các tiêu chuẩn đạo đức,” anh nói. “mà họ lại những người bị cách ly, như tôi.” Chúng tôi hỏi anh có đọc bài báo của Zhu và Cao chưa. “Tôi không rõ rằng họ đã có đóng góp gì mới,” anh trả lời. “Có vẻ như Zhu không hiểu lắm bài báo của tôi và chỉ cố gắng xây dựng lại lời giải.” Còn về Yau, anh nói, “Tôi không thể nói rằng tôi bị xúc phạm. Có những người khác còn làm những điều xấu xa hơn. Tất nhiên, có rất nhiều các nhà toán học thành thật, không ít thì nhiều. Phần lớn những người này là những người có nguyên tắc (conformist). Họ ít nhiều thành thật, nhưng họ cũng tha thứ cho những người không thành thật.”

Chính khả năng được nhận Huy chương Fields đã buộc Perelman phải cắt đứt vĩnh viễn với lĩnh vực của mình. “Cho đến khi tôi không trở nên đáng chú ý, tôi có thể có 2 lựa chọn,” Perelman giải thích. “Hoặc làm một vài điều xấu xa” – một sự ồn ào về sự thiếu toàn vẹn của cộng động toán học – “hay, nếu tôi không làm những điều đó, bị đối xử như một vật nuôi. Đến lúc này, khi tôi đã trở thành người rất đáng chú ý, tôi không thể nào đóng vai trò vật nuôi và giữ im lặng được nữa. Đó là điều khiến tôi phải rời bỏ cộng đồng toán học.” Chúng tôi hỏi Perelman phải chăng khi quyết định từ chối giải Fields và thoát ly khỏi cộng đồng, anh cũng đồng thời chối bỏ việc mình có khả năng gây ảnh hưởng trong lĩnh vực. “Tôi không phải là chính trị gia!” anh trả lời một cách giận dữ. Perelman không nói rằng việc từ chối giải thưởng của anh sẽ là câu trả lời cho cả giải thưởng 1 triệu đô la của Viện Clay. “Tôi sẽ không có quyết định nhận hay từ chối cho đến khi được đề nghị trao tặng,” anh nói.

Mikhail Gromov, nhà hình học người Nga, nói rằng ông hiểu được lô-gích của Perelman: “Để làm được những công việc vĩ đại, bạn phải có một tinh thần thanh khiết. Bạn chỉ có thể suy nghĩ về Toán học mà thôi. Bất cứ điều gì khác đều là điểm yếu của con người. Đồng ý nhận giải thưởng cũng là một điểm yếu.” Những người khác có thể xem việc từ chối nhận giải Fields của Perelman là một hành động tự kiêu, Gromov nói, nhưng nguyên tắc của anh ấy thật đáng ngưỡng mộ. “Những nhà khoa học lý tưởng chỉ làm khoa học và không quan tâm đến gì khác,” ông nói. “Perelman muốn sống với lẽ sống này. Bây giờ, tôi không nghĩ anh ấy đang thật sự sống ở mức lý tưởng như vậy. Nhưng anh ấy rất mong muốn điều ấy.

——-

Nguồn: tnxm, dịch từ https://trungtuan.wordpress.com/2007/09/22/manifold-destiny/

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s