USA TST 2010


1. Cho P là một đa thức với hệ số nguyên thoả mãn P(0)=0

\gcd(P(0), P(1), P(2), \ldots, ) = 1. Chứng minh rằng có vô hạn n sao cho

\gcd(P(n)- P(0), P(n+1)-P(1), P(n+2)-P(2), \ldots) = n.

2. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng

\dfrac{1}{a^5(b+2c)^2} + \dfrac{1}{b^5(c+2a)^2} + \dfrac{1}{c^5(a+2b)^2} \ge \dfrac{1}{3}.

3. Cho h_a, h_b, h_c là độ dài các đường cao của tam giác ABC hạ từ A, B, C tương ứng. Cho P là một điểm nằm trong tam giác. Chứng minh rằng \dfrac{PA}{h_b+h_c} + \dfrac{PB}{h_a+h_c} + \dfrac{PC}{h_a+h_b} \ge 1.

4. Cho tam giác ABC. Các điểm MN nằm trên cạnh ACBC tương ứng sao cho MN || AB. Các điểm PQ nằm trên các cạnh ABCB tương ứng sao cho PQ || AC. Đường tròn nội tiếp của tam giác CMN tiếp xúc với đoạn AC tại E. Đường tròn nội tiếp của tam giác BPQ tiếp xúc với cạnh AB tại F. Các đường thẳng ENAB cắt nhau tại R, và các đường thẳng FQAC cắt nhau tại S. Biết AE = AF, chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AEF nằm trên đường tròn nội tiếp của tam giác ARS.

5. Xác định dãy a_1, a_2, a_3, \ldots bởi a_1 = 1 và với n > 1,

a_n = a_{\lfloor n/2 \rfloor} + a_{\lfloor n/3 \rfloor} + \ldots + a_{\lfloor n/n \rfloor} + 1. Chứng minh rằng có vô hạn n sao cho a_n \equiv n \pmod{2^{2010}}.

6. Cho T là một tập hữu hạn các số nguyên dương lớn hơn 1. Một tập con S của T được gọi là tốt nếu với mỗi t \in T tồn tại s \in S thoả mãn \gcd(s, t) > 1. Chứng minh rằng số các tập con tốt của T là số lẻ.

7. Trong tam giác ABC, cho PQ là hai điểm bên trong tam giác sao cho \angle ABP = \angle QBC\angle ACP = \angle QCB. Điểm D nằm trên đoạn BC. Chứng minh rằng \angle APB + \angle DPC = 180^\circ khi và chỉ khi \angle AQC + \angle DQB = 180^\circ.

8. Cho m,n là các số nguyên dương thoả mãn m \geq n, và cho S là tập các bộ (a_1, a_2, \ldots a_n) các số nguyên dương thoả mãn a_1 + a_2 + \cdots + a_n = m. Chứng minh rằng

\sum_S 1^{a_1} 2^{a_2} \cdots n^{a_n}

=C_n^{n}n^m -C_{n}^{n-1}(n-1)^m + \cdots +(-1)^{n-2}C_n^22^m + (-1)^{n-1}C_n^1.

9. Xác định xem liệu có tồn tại số nguyên dương k sao cho p = 6k+1 là số nguyên tố và C_{3k}^k\equiv 1\pmod{p}.

2 thoughts on “USA TST 2010”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s