19 thoughts on “Bài T10/397”

  1. Đề bài: Với mỗi tập A gồm n điểm phân biệt trong mặt phẳng(n>=2),kí hiệu T(A) là tập các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều thuộc A. Tìm min,max T(A).

    Lời giải:
    Với mỗi đoạn thẳng mà hai đầu mút là hai điểm thuộc tập A, ta có hai vectơ tương ứng.(1)
    Bởi vậy, bài toán quy về đếm số đoạn thẳng có hai đầu mút đều là các điểm thuộc tập A.
    Lấy 1 điểm bất kì trong tập A, kí hiệu là A1. Nối A1 với 1 điểm trong số (n-1) điểm còn lại, được một đoạn thẳng.Có (n-1) điểm, do đó có (n-1) đoạn thẳng mà một đầu mút là A1. Mà tập A gồm n điểm phân biệt, làm tương tự như đối với điểm A1, ta được n(n-1) đoạn thẳng. Nhưng mỗi đoạn thẳng đã được đếm 2 lần, suy ra chỉ có n(n-1)/2 đoạn thẳng mà ta thực phải đếm. Với cách đếm này,tất cả các điểm của A đều tham gia vào việc hình thành nên các đoạn thẳng. Bởi vậy số lượng các đoạn thẳng đạt max. Kết hợp với lập luận (1),suy ra max T(A)=n(n-1).

    Để tính min T(A), số đoạn thẳng đếm được phải là ít nhất, và các điểm thuộc tập A đều được tính đến. Xét 2 trường hợp:
    *) Nếu n=2k (k là số nguyên dương)
    Số đoạn thẳng ít nhất cần phải đếm chính bằng số cách nhóm từng cặp điểm phân biệt của tập A để tạo thành các đoạn thẳng. Khi đó, có k nhóm như vậy. Suy ra có k đoạn thẳng. Kết hợp với lập luận (1), min T(A)=2k=n.
    *)Nếu n=2k+1(k là số nguyên dương)
    Xét trường hợp cụ thể khi tập A gồm 3 điểm phân biệt M, N, P. Dễ thấy số đoạn thẳng ít nhất là 2 (ví dụ: MN, MP). Khi tập A gồm 5 điểm phân biệt M, N, P, Q, S, số đoạn thẳng ít nhất là 3 (ví dụ: MN, PQ, QS)
    Nếu làm tương tự như trường hợp n chẵn, cuối cùng sẽ còn lại 1 điểm không kết hợp nhóm được với điểm nào. Ta nối điểm đó với 1 điểm bất kì còn lại, tạo thành một đoạn thẳng. Thật vậy, khi đó số đoạn thẳng là ít nhất. (Hiểu đơn giản,ta có thể quy nạp theo k). Tóm lại, số đoạn thẳng trong trường hợp này là k+1=(n+1)/2. Suy ra min T(A)=n+1.
    Bài toán được giải xong.

  2. “Bởi vậy, bài toán quy về đếm số đoạn thẳng có hai đầu mút đều là các điểm thuộc tập A.”
    Bạn Hùng nói như trên là không đúng. Xét mô hình bốn điểm nằm trên đường thẳng theo kiểu AB=BC=CD thì số véc tơ ít hơn số đoạn.

  3. “*) Nếu n=2k (k là số nguyên dương)
    Số đoạn thẳng ít nhất cần phải đếm chính bằng số cách nhóm từng cặp điểm phân biệt của tập A để tạo thành các đoạn thẳng. Khi đó, có k nhóm như vậy. Suy ra có k đoạn thẳng. Kết hợp với lập luận (1), min T(A)=2k=n.”

    Đoạn này em làm cũng thiếu nhiều đoạn chưa đếm này. Đầu bài nói là “Các véc tơ có điểm đầu và điểm cuối thuộc A” nhưng nếu em ghép cặp kiểu này thì có nhiều véc tơ chưa tính đến. Chắc hạn nếu n=4 , em có 4 điểm A,B,C,D. Nếu ghép như em ta sẽ ghép AB, CD. Nhưng còn có các véc tơ với điểm đầu và điểm cuối trong {A,C} thì sao?…

  4. Em cũng có tính đến trường hợp các điểm thẳng hàng nhưng em nghĩ là không ảnh hưởng tới số vectơ chứ ạ?!?

  5. Vấn đề là ngôn ngữ trong đầu bài thôi. Đây là ví dụ khi n=3. Giả sử có 3 điểm không thẳng hàng đi, khi đó số véc tơ bằng 6. Em nhớ là phải lấy “tất cả” các véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trong A nhé! Trong trường hợp tìm Min em đã không lấy một vài véc tơ.

  6. Thế thì em hiểu rồi. Suy ra số cách chọn để đạt giá trị min T(A) sẽ là số chỉnh hợp chập 2 của n phần tử. Kết quả này em nghĩ là đúng, còn phần lập luận em sẽ post sau thầy nhé.

  7. hung à bài giải của bạn cần phải chỉnh sữa chỗ nào nữa vậy như thế đã ổn chửa
    ban giải giúp mình bài T10/396 luôn:
    Cho dãy số un (n=1,2,…) thoả điều kiện: un+1=(un+2008)/(-un+2010)
    a) Chứng minh dãy un có lim hữu hạn và tìm limun.
    b) Tính lim Tn=[1/(u1-2008)+ 1/(u2-2008)+…+1/(un-2008)]/(n+2009)

    1. Bài này có mỗi chỗ nghĩ ra mô hình đạt Max, Min là khó thôi. Nó cũng giống như tìm Min, Max của một biểu thức đại số mà lại biêt trước dấu bằng ấy. Em nghĩ chút xem. Đừng nháp, chỉ tưởng tượng thôi.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s