Đề thi tuyển sinh vào lớp 10; THPT chuyên Hạ Long, Quảng Ninh; năm học 2010-2011; môn Toán chuyên


Bài 1.

Cho biểu thức M=\left(\dfrac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{\sqrt{x}-1}{7} với x\geq 0,x\not =1.

a)Rút gọn M;

b)Tính M khi x=3-2\sqrt{2}.

Bài 2.

a)Giải hệ phương trình \begin{cases}(x^2+xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=185\\(x^2-xy+y^2)\sqrt{x^2+y^2}=65.\end{cases}

b)Cho phương trình mx^3-(m^2+1)x^2-m^2x+m+1=0(1).

i)Chứng minh x=-1 là một nghiệm của (1);

ii)Tìm m để (1) có ba nghiệm phân biệt.

Bài 3.

Cho \Delta ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ AH vuông góc với BC(H\in BC)BE vuông góc với đường kính AD(E\in AD).

a)Chứng minh HE||DC;

b)Qua trung điểm K của AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại M. Chứng minh \Delta MHE cân.

Bài 4.

Cho -1\leq a,b,c\leq 2 thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh a^2+b^2+c^2\leq 6.

Bài 5.

Cho hình chữ nhật ABCDAB=5cm,BC=2cm. Trên cạnh AB lấy I bất kỳ(I\not = A,B). Kẻ IM vuông góc với AC(M\in AC)IN vuông góc với DC(N\in DC). Tìm vị trí I để AN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp \Delta IMN.