Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Quảng Ninh, môn Toán, năm học 2010-2011


Bài 1.

a)So sánh hai số 3\sqrt{5}\sqrt{29};

b)Rút gọn A=\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}+\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}.

Bài 2.

Cho hệ \begin{cases}2x+y=5m-1\\x-2y=2.\end{cases}.

a)Giải hệ với m=1;

b)Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn x^2-2y^2=1.

Bài 3.

Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ đầy bể. Nếu từng vòi chảy riêng thì thời gian vòi thứ nhất làm đầy bể sẽ ít hơn thời gian vòi thứ hai làm đầy bể là 10 giờ. Hỏi nếu chảy riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?

Bài 4.

Cho (O;R), dây BC cố định(BC<2R) và điểm A di động trên cung lớn BC sao cho \Delta ABC có ba góc nhọn. Các đường cao BD,CE cắt nhau tại H.

a)Chứng minh ADHE nội tiếp;

b)Gỉa sử \widehat{BAC}=60^0, hãy tính khoảng cách từ O đến BC theo R;

c)Chứng minh đường thẳng kẻ qua A vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5.

Chứng minh xy(x-2)(y+6)+12x^2-24x+3y^2+18y+36>0\forall x,y\in\mathbb{R}.

Đề thi tuyển vào lớp 10, THPT chuyên Hạ Long, năm học 2003-2004, môn Toán chung


Bài 1.

Cho biểu thức P=\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3x+3}{x-9}\right):\left(\dfrac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1\right)

a)Rút gọn P;

b)Tìm x để P<-\dfrac{1}{2};

c)Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 2.

Một bể đựng nước có hai vòi: vòi A đưa nước vào và vòi B tháo nước ra. Với vòi A(khi trong bể không có nước và đóng vòi B)chảy tới khi bể đầy lâu hơn 2 giờ so với vòi B tháo nước ra từ khi bể đầy nước đến khi bể hết nước(có đóng vòi A). Khi bể nước chứa \dfrac{1}{3} bể người ta đã mở cùng một lúc cả vòi A và vòi B thì sau 8 giờ bể cạn hết nước. Hỏi sau bao nhiêu giờ riêng vòi A có thể chảy đầy bể? Riêng vòi B có thể tháo hết nước trong bể?

Bài 3.

Cho phương trình x^2-2(a-1)x+2a-5=0(1).

a)Chứng minh (1) có nghiệm với mỗi a;

b)Với giá trị nào của a thì (1) có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1<1<x_2;

c)Tìm a để (1) có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2=6.

Bài 4.

Cho (O;r) và dây AB(AB<2r). Trên tia AB lấy điểm C sao cho AC>AB. Từ C kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn tại P,K. Gọi I là trung điểm của AB.

a)Chứng minh rằng CPIK nội tiếp;

b)Chứng minh CP^2=CA\cdot CB;

c)Gọi H là trực tâm của \Delta CPK. Tính PH theo r;

d)Gỉa sử PA||CK, chứng minh tia đối của tia BK là phân giác của \widehat{CBP}.

Bài 5.

Cho tam giác ABC xác định vị trí của M nằm trong tam giác sao cho AM\cdot BC+BM\cdot CA+CM\cdot AB đạt giá trị nhỏ nhất.

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Hạ Long, năm học 2004-2005, môn Toán chuyên


Bài 1.

Cho biểu thức A=\dfrac{x}{y^3-1}-\dfrac{y}{x^3-1}+\dfrac{2(x-y)}{x^2y^2+3} với x,y\not =1.

Rút gọn A khi x+y=1.

Bài 2.

Tìm các số nguyên x và số nguyên tố p thoả mãn 2x^2+3x-35=p^2.

Bài 3.

Cho hai đường tròn tâm O_1,O_2 cắt nhau tại AB. Đường thẳng O_1A cắt đường tròn tâm O_2 tại D, đường thẳng O_2A cắt đường tròn tâm O_1 tại C. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường tròn tâm O_1 tại M và cắt đường tròn tâm O_2 tại N. Chứng minh rằng

a)B,C,D,O_1,O_2 nằm trên một đường tròn;

b)BC+BD=MN.

Bài 5.

Cho a,b là các số thực dương thoả mãn a^2+b^3\geq a^3+b^4. Chứng minh a^3+b^3\leq 2.