Giới hạn hữu tỷ và vô tỷ


Trong bài trước tôi đã nói về giới hạn Lượng giác.

Trong bài này ta sẽ quan tâm đến các giới hạn dạng \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} với a\in\mathbb{R}, f,g là các đa thức hay các biểu thức chứa căn. Các giới hạn này thường được tính bằng cách biến đổi tử và mẫu(bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử hay nhân lượng liên hợp) về một bội của x-a rồi giản ước x-a đi. Nếu x\to\infty thì ta có thể đặt y=\dfrac{1}{x} khi đó y\to 0, và ta lại quay lại trường hợp trên.

Bài 1. Tính các giới hạn

a)\lim_{x\to -1}\dfrac{x^2-x-2}{x^4-3x^2+2};

b)\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt{4+x}-2}.

Bài 2. Tính các giới hạn

a)\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\sqrt[3]{1-x}}{x};

b)\lim_{x\to 8}\dfrac{\sqrt[3]{x}-\sqrt{x-4}}{x-8}.

Bài 3. Tính các giới hạn

a)\lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x^2-2x}-x);

b)\lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x^2+4}-\sqrt[3]{x^3-4}).

Bài 4. Tính các giới hạn

a)\lim_{x\to 1}\dfrac{x^4-4x^3+8x-5}{x^3-3x+2};

b)\lim_{x\to 1}\dfrac{x^6-6x+5}{(x-1)^2}(Dự bị 2002, Bộ GD).

Bài 5. Tính các giới hạn

a)\lim_{x\to 1}\left(\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{3}{1-x^3}\right);

b)\lim_{x\to 1}\left(\dfrac{x+2}{x^2-5x+4}+\dfrac{x-4}{3(x^2-3x+2)}\right).

Bài 6. Tính các giới hạn

a)\lim_{x\to 1}\dfrac{x+x^2+x^3-3}{x-1};

b)\lim_{x\to 1}\dfrac{x+x^2+\cdots+x^n-n}{x-1}(n\in\mathbb{N}^*).

Bài 7. Tính các giới hạn

a)\lim_{x\to 1}\dfrac{x^3-1}{x^4-1};

b)\lim_{x\to 1}\dfrac{x^m-1}{x^n-1}\,\, (m,n\in\mathbb{N}^*).

Bài 8. Tính các giới hạn

a)\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x};

b)\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+x)(1+2x)\cdots (1+nx)-1}{x}\,\, (n\in\mathbb{N}^*).

Bài 9. Tính các giới hạn

a)\lim_{x\to 1}\dfrac{3x-2-\sqrt{4x^2-x-2}}{x^2-3x+2};

b)\lim_{x\to 2}\dfrac{x-\sqrt{x+2}}{\sqrt{4x+1}-3}.

Bài 10. Tính các giới hạn

a)\lim_{x\to\sqrt{2}}\dfrac{x^2-2}{x^2-x+\sqrt{2}-2};

b)\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}.

Các bài tập dưới đây đều là các bài tập khó, các em học sinh có thể tạm bỏ qua chúng khi mới làm quen với bài toán tính giới hạn hàm số. Thực ra các khó khăn trong những bài toán dưới đây chỉ là kỹ thuật biến đổi, ý tưởng thì không khác gì các bài tập bên trên.

Bài 11. Cho m,n là các số nguyên dương. Tính các giới hạn sau

a)\lim_{x\to 1}\dfrac{x^n-nx+n-1}{(x-1)^2};

b)\lim_{x\to 1}\left(\dfrac{m}{1-x^m}-\dfrac{n}{1-x^n}\right);

c)\lim_{x\to 0}\dfrac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}.

Bài 12. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì

\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt[n]{1+ax}-1}{x}=\dfrac{a}{n}\forall a\in\mathbb{R}.(Bài chìa khoá)

Bài 13. Tính các giới hạn

a)\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+2x}\sqrt[3]{1+3x}\sqrt[4]{1+4x}-1}{x};

b)\lim_{x\to +\infty}(\sqrt[3]{(x+1)(x+2)(x+3)}-x);

c)\lim_{x\to +\infty}(\sqrt[3]{(x+1)(x+2)(x+3)}-\sqrt{(x+4)(x+5)}).

Bài 14. Hãy phát biểu và giải bài toán tổng quát của Bài 13.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s