Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan


Rõ ràng là trong chương trình Toán THCS phương trình bậc hai là một phần kiến thức trọng tâm, vì thế mà nó xuất hiện hầu khắp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Trong chuyên đề này tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai(điều kiện có nghiệm, định lý Viét và các áp dụng) và một số bài toán liên quan(hệ bậc hai,…).

 

Phương trình bậc hai một ẩn số là một phương trình có dạng

ax^2+bx+c=0, với a,bc là các số thực thoả mãn a\not =0.

\clubsuit Cho ví dụ về các phương trình bậc hai đủ, thiếu.

\boxed{1}. Số nghiệm của phương trình bậc hai

 

\clubsuit Đặt \Delta=b^2-4ac. Một phương trình bậc hai có ít nhất một nghiệm khi và chỉ khi \Delta\geq 0, có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi \Delta>0 và có 0 nghiệm khi và chỉ khi \Delta<0. Khi làm các bài toán dạng này các bạn nhớ phải quan tâm đến hệ số của x^2 sau đó mới tính \Delta trong trường hợp hệ số này khác 0.

Bài 1.1. Chứng minh rằng với mỗi ba số thực đôi một khác nhau a,b,c phương trình

\dfrac{1}{x-a}+\dfrac{1}{x-b}+\dfrac{1}{x-c}=0 có hai nghiệm phân biệt.

Bài 1.2. Chứng minh rằng phương trình

c^2x^2+(a^2-b^2-c^2)x+b^2=0 vô nghiệm với a,bc là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Bài 1.3. Chứng minh rằng với mỗi a,b,c\in\mathbb{R} một trong ba phương trình sau phải có nghiệm ax^2+2bx+c=0,bx^2+2cx+a=0cx^2+2ax+b=0.

Bài 1.4. Cho a,b là các số thực không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng phương trình \dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{x-1}=1 có nghiệm.

Bài 1.5. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn 5a+4b+6c=0. Chứng minh rằng phương trình ax^2+bx+c=0 có nghiệm.

Bài 1.6. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a(a+2b+4c)<0. Chứng minh rằng phương trình ax^2+bx+c=0 có nghiệm.

Bài 1.7. Cho a,b,c là các số thực thoả mãn a+b+c=6. Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phương trình sau có nghiệm x^2+ax+1=0,x^2+bx+1=0x^2+cx+1=0.

Bài 1.8. Cho a,b,c là ba số dương đôi một khác nhau có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau có một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm x^2+ax+b=0,x^2+bx+c=0x^2+cx+a=0.

Bài 1.9. Chứng minh rằng nếu a,b là các số thực thoả mãn |a|+|b|>2 thì phương trình sau có nghiệm 2ax^2+bx+1-a=0.

Bài 1.10. Chứng minh rằng với mỗi a,b,c\in\mathbb{R} phương trình sau luôn có nghiệm a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0.

Bài 1.11. Chứng minh rằng nếu các phương trình bậc hai x^2+ax+b=0x^2+cx+d=0 có các hệ số thoả mãn ac\geq 2(b+d) thì ít nhất một trong hai phương trình đó có nghiệm.

\boxed{2}. Giải phương trình bậc hai có tham số

\clubsuit Đừng có tính \Delta của một phương trình chưa hẳn là bậc hai! Hệ số của x^2 có thể bằng 0.

Bài 2.1. Giải và biện luận phương trình (m-1)x^2+m^2-3m+2=0.

Bài 2.2. Giải và biện luận phương trình (m-3)x^2-2mx+m-6=0.

Bài 2.3. Giải và biện luận phương trình \dfrac{m-1}{mx-1}+\dfrac{2}{x^2-1}=\dfrac{m+5}{(1-mx)(x^2-1)}.

\clubsuit Phải xét m=0 trước thì mới đặt điều kiện được và giải xong nhớ kiểm tra điều kiện.

\boxed{3}. Một số phương trình quy về bậc hai

Trong mục này ta sẽ xét các phương trình được giải sau khi chuyển về phương trình bậc hai nhờ một phép đặt ẩn phụ.

\clubsuit Bạn cần phải nhớ cách giải các phương trình có dạng đặc biệt sau đây

a)Phương trình trùng phương ax^4+bx^2+c=0(a\not=0).

b)Phương trình đối xứng gương ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0(a\not=0).

c)Phương trình dạng (x+a)^4+(x+b)^4=c.

d)Phương trình dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e với a+c=b+d.

e)Phương trình dạng \dfrac{mx}{ax^2+bx+d}+\dfrac{nx}{ax^2+cx+d}=p(p\not=0).

Đương nhiên là còn có các dạng phương trình khác nhưng cách giải của chúng cũng gần như một trong năm dạng trên.

Bài 3.1. Giải các phương trình

a)2x^4+3x^3-16x^2+3x+2=0.

b)(x+3)^4+(x+5)^4=16.

c)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24.

d)x^4-17x^2+16=0.

e)\dfrac{4x}{4x^2-8x+7}+\dfrac{3x}{4x^2-10x+7}=1.

Bài 3.2. Giải các phương trình

a)(x+4)(x+6)(x-2)(x-12)=25x^2.

b)\dfrac{x^2-10x+15}{x^2-6x+15}=\dfrac{4x}{x^2-12x+15}.

c)\dfrac{x^2-3x+5}{x^2-4x+5}-\dfrac{x^2-5x+5}{x^2-6x+5}=-\dfrac{1}{4}.

Bài 3.3. Giải các phương trình

a)20\left(\dfrac{x+3}{x-2}\right)^2-5\left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)^2+48\left(\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\right)=0.

b)\left(\dfrac{x+2}{x+1}\right)^2+\left(\dfrac{x-2}{x-1}\right)^2-\dfrac{5}{2}\left(\dfrac{x^2-4}{x^2-1}\right)=0.

Bài 3.4. Giải các phương trình

a)(x+5)(2x+12)(2x+20)(x+12)=3x^2.

b)(4x+1)(12x-1)(3x+2)(x+1)=4.

Bài 3.5. Cho phương trình x^4+2(m-2)x^2+m^2-5m+5=0. Tìm m để phương trình có

a)4 nghiệm phân biệt.

b)3 nghiệm phân biệt.

c)2 nghiệm phân biệt.

d)1 nghiệm.

e)0 nghiệm.

Bài 3.6. Giải các phương trình

a)x\left(\dfrac{3-x}{x+1}\right)\left(x+\dfrac{3-x}{x+1}\right)=2.

b)x\left(\dfrac{8-x}{x-1}\right)\left(x-\dfrac{8-x}{x-1}\right)=15.

c)x^2+\left(\dfrac{x}{x+1}\right)^2=1.

Bài 3.7. Giải các phương trình

a)\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{x+5}+\dfrac{1}{x+7}=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{x+6};

b)\dfrac{(1995-x)^2+(1995-x)(x-1996)+(x-1996)^2}{(1995-x)^2+(1995-x)(x-1996)+(x-1996)^2}=\dfrac{19}{49}.

\boxed{4}. Định lý Viét và các áp dụng

\clubsuit Định lý Viét. Nếu phương trình bậc hai nói trên có các nghiệm là x_1x_2 thì ta có x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}x_1x_2=\dfrac{c}{a}.

 

\boxed{4.1}. Nhẩm nghiệm

\clubsuit Nếu a+b+c=0 thì phương trình có các nghiệm x_1=1,x_2=\dfrac{c}{a}. Nếu a-b+c=0 thì phương trình có các nghiệm x_1=-1,x_2=-\dfrac{c}{a}.

Bài 4.1.1. Giải các phương trình

a)2x^2+199x-201=0;

b)17x^2+335x+318=0.

Bài 4.1.2. Giải các phương trình

a)x^2+(3m-5)x-3m+4=0;

b)3x^2-(m-2)x-m-1=0;

c)(m-2)x^2+(m-3)x-2m+5=0;

d)(m-3)x^2-(m+1)x-2m+2=0.

\boxed{4.2}. Xét dấu các nghiệm

\clubsuit Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P<0, phương trình có hai nghiệm âm khi và chỉ khi \Delta\geq 0,P>0S<0, phương trình có hai nghiệm dương khi và chỉ khi \Delta\geq 0,P>0S>0.

Bài 4.2.1. Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

a)x^2-2mx+5m-4=0;

b)mx^2+mx+3=0.

Bài 4.2.2. Tìm m để phương trình (m+1)x^2+2(m+4)x+m+1=0

a)Một nghiệm;

b)Hai nghiệm cùng dấu phân biệt;

c)Hai nghiệm âm phân biệt.

Bài 4.2.3. Tìm m để phương trình (m-4)x^2-2(m-2)x+m-1=0

a)Hai nghiệm cùng dấu;

b)Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn;

c)Đúng một nghiệm dương.

Bài 4.2.4. Tìm m để phương trình mx^2-2(m-3)x+m-4=0 có đúng một nghiệm không dương.

Bài 4.2.5. Tìm m để phương trình (m+1)x^2-2x+m-1=0 có ít nhất một nghiệm không âm.

Bài 4.2.6. Cho biểu thức A=\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right).

Tìm m để có x thoả mãn A(\sqrt{x}+1)=m(x+1)-2.

Bài 4.2.7. Tìm m để có x<0 sao cho m=\dfrac{x(1-x^2)^2}{1+x^2}:\left[\left(\dfrac{1-x^3}{1-x}+x\right)\left(\dfrac{1+x^3}{1+x}-x\right)\right].

Bài 4.2.8. Tìm m để có x sao cho

m=\sqrt{x}-\dfrac{\sqrt{4x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}+\dfrac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}.

\boxed{4.3}. Tính giá trị của một biểu thức đối xứng của các nghiệm

\clubsuit Để tính giá trị của biểu thức F(x_1,x_2) với F đối xứng, ta chuyển F về biểu thức chỉ có hai biến S=x_1+x_2P=x_1x_2.

 

Bài 4.3.1. Gọi x_1,x_2 là các nghiệm của phương trình x^2-3x-7=0. Tính A=x_1^2+x_2^2,B=|x_1-x_2|,C=\dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1},D=(3x_1+x_2)(3x_2+x_1). Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là \dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}.

Bài 4.3.2. Không giải phương trình hãy tính hiệu các lập phương của các nghiệm lớn và nhỏ của phương trình bậc hai x^2-\dfrac{\sqrt{85}}{4}x+1\dfrac{5}{16}=0.

 

Bài 4.3.3. Giả sử x_1,x_2 là nghiệm của phương trình x^2+ax+1=0x_3,x_4 là nghiệm của phương trình x^2+bx+1=0. Tính giá trị của biểu thức M=(x_1-x_3)(x_2-x_3)(x_1+x_4)(x_2+x_4) theo a,b.

Bài 4.3.4. Gỉa sử x_1,x_2 là các nghiệm của phương trình x^2-ax+1=0. Tính S=x_1^7+x_2^7 theo a và tìm một đa thức bậc 7 có hệ số nguyên nhận \alpha=\sqrt[7]{3/5}+\sqrt[7]{5/3} làm nghiệm.

 

Bài 4.3.5. Gọi x_1,x_2 là các nghiệm của phương trình 5x^2-3x-1=0. Tính giá trị các biểu thức sau

A=2x_1^3-3x_1^2x_2+2x_2^3-3x_1x_2^2;

B=\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_1}{x_2+1}+\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_2}{x_1+1}-\left(\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}\right)^2;

C=\dfrac{3x_1^2+5x_1x_2+3x_2^2}{4x_1x_2^3+4x_1^3x_2}.

Bài 4.3.6. Cho các phương trình x^2+ax+1=0,x^2+bx+1=0x^2+cx+1=0. Biết rằng tích một nghiệm của phương trình thứ nhất với một nghiệm nào đó của phương trình thứ hai là một nghiệm của phương trình thứ ba. Chứng minh rằng

a^2+b^2+c^2+abc=4.

 

Bài 4.3.7. Gỉa sử phương trình x^2+ax+b+1=0 có hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng a^2+b^2 là một hợp số.

Bài 4.3.8. Cho phương trình 2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3=0. Gọi x_1,x_2 là các nghiệm của phương trình, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=|x_1x_2-2x_1-2x_2|.

Bài 4.3.9. Cho phương trình 2x^2+2(m+2)x+m^2+4m+3=0. Gọi x_1,x_2 là các nghiệm của phương trình. Chứng minh rằng |x_1+x_2+3x_1x_2|\leq \left(1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2.

\boxed{4.4}. Dãy S_n=x_1^n+x_2^n

 

\clubsuit Nhớ là ta có công thức truy hồi liên hệ ba số hạng liên tiếp của dãy trên.

Bài 4.4.1. Cho x_1,x_2 là các nghiệm của phương trình x^2-mx+1=0 với m>3 là một số nguyên. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, số S_n là một số nguyên không chia hết cho m-1.

Bài 4.4.2. Chứng minh rằng nếu các số thực x,y,a,b thoả mãn x+y=a+bx^4+y^4=a^4+b^4 thì chúng cũng thoả mãn x^n+y^n=a^n+b^n với mỗi số nguyên dương n.

Bài 4.4.3. Cho m là một số nguyên dương và x_1,x_2 là các nghiệm của phương trình x^2-mx+1=0.

a)Chứng minh rằng x_1^5+x_2^5 là một số nguyên;

b)Tìm m bé nhất để x_1^5+x_2^5 là bội của 25.

Bài 4.4.4. Cho p là một số nguyên lẻ và phương trình x^2+px-1=0 có hai nghiệm phân biệt x_1,x_2. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì x_1^n+x_2^nx_1^{n+1}+x_2^{n+1} là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 4.4.5. Tìm số dư khi chia [(2+\sqrt{3})^{2010}] cho 3.

Bài 4.4.6. Gọi x_1,x_2 là các nghiệm của phương trình x^2-6x+1=0. Kí hiệu S_n=x_1^n+x_2^n với n là số nguyên dương.

a)Tính S_1,S_2,S_3;

b)Tìm một hệ thức liên hệ S_n,S_{n+1},S_{n+2} với n là số nguyên dương bất kì. Từ đây hãy tính S_4,S_5,S_6,S_7;

c)Chứng minh rằng S_n là số nguyên dương với mỗi n nguyên dương;

d)Tìm số dư khi chia S_{50} cho 5.

 

Bài 4.4.7. Cho a=5+2\sqrt{6}b=5-2\sqrt{6}.

a)Chứng minh rằng a^2=10a-1,b^2=10b-1;

b)Đặt S_n=a^n+b^n. Chứng minh rằng s_0,s_4,s_8,\cdots là các số tự nhiên có chữ số hàng đơn vị là 2;

c)Tìm chữ số hàng đơn vị của [(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{48}].

Bài 4.4.8. Tìm chữ số cuối cùng của [(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{250}].

\boxed{4.5}. Tìm hai số biết tổng và tích

\clubsuit x_1,x_2 là các nghiệm của phương trình x^2-Sx+P=0 với S=x_1+x_2,P=x_1x_2.

Bài 4.5.1 Tìm hai số biết rằng

a)Tổng bằng 2, tích bằng -1;

b)Tổng bằng 1, tích bằng 5.

\boxed{4.6}. Hệ phương trình đối xứng kiểu 1

\clubsuit Hệ đối xứng kiểu 1 là hệ có dạng P(x,y)=0,Q(x,y)=0 với PQ là các biểu thức đối xứng của xy. Để giải hệ này ta dùng phép đặt x+y=Sxy=P.

Bài 4.6.1. Giải các hệ phương trình

a)x^2+xy+y^2=4,x+xy+y=2;

b)x+y+xy=5,x^2+y^2=5;

c)x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30,x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35;

d)x+y+xy=\dfrac{7}{2},xy(x+y)=\dfrac{5}{2};

e)x^3+y^3=8,x+y+2xy=2.

Bài 4.6.2. Giải các hệ phương trình

a)x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5,x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=9;

b)x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=4,x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}=4;

c)(x+1)^2(y+1)^2=27xy,(x^2+1)(y^2+1)=10xy.

Bài 4.6.3. Giải các hệ phương trình

a)(x+y)(1+1/xy)=5,(x^2+y^2)(1+1/x^2y^2)=49;

b)x+y+xy=11,\dfrac{6}{x}+\dfrac{6}{y}+xy=11;

c)x+y+z=1,2x+2y-2xy+z^2=1.

Bài 4.6.4. Giải các hệ phương trình

a)\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}=4,x^2+y^2=128;

b)(x^2+x+1)+(y^2+y+1)=3,(1-x)(1-y)=6.

Bài 4.6.5. Giải các hệ phương trình

a)\sqrt{x}+\sqrt{y}=5,\sqrt{x+5}+\sqrt{y+5}=8;

b)\sqrt{x}+\sqrt{y}=\dfrac{5}{6}\sqrt{xy},x+y=13;

c)x+y+\sqrt{xy}=14,x^2+y^2+xy=84;

d)\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=8\sqrt{2},\sqrt{x}+\sqrt{y}=4;

e)2(x+y)=3(\sqrt[3]{x^2y}+\sqrt[3]{xy^2}),\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}=6.

\boxed{4.7}. Tìm tham số để F(x_1,x_2)=0(>0,<0)

\clubsuit Nếu F đối xứng thì ta chuyển về S,P, nếu trái lại ta có hai cách để làm. Chuyển về giải hệ x_1+x_2=S,F(x_1,x_2)=0 sau đó thay vào x_1x_2=P. Hoặc có thể dùng phương pháp đối xứng hoá, chuyển về trường hợp F đối xứng. Cả hai cách làm đều phải chú ý đến điều kiện có nghiệm của phương trình.

Bài 4.7.1 Tìm m để phương trình x^2+mx+1=0 có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn \dfrac{x_1^2}{x_2^2}+\dfrac{x_2^2}{x_1^2}>7.

Bài 4.7.2. Xác định m để các nghiệm x_1,x_2 của phương trình

mx^2-2(m+1)x+m-4=0 thoả mãn x_1+4x_2=3.

Bài 4.7.3. Tìm m để phương trình mx^2-2(m-2)x+m-3=0 có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1^2+x_2^2=1.

Bài 4.7.4. Tìm m để phương trình x^2-2(m-2)x+m^2+2m-3=0 có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{5}.

Bài 4.7.5. Cho phương trình x^2+mx+n=03m^2=16n. Chứng minh rằng trong hai nghiệm của phương trình, có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia.

\boxed{4.8}. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm

\clubsuit x_1,x_2 là các nghiệm của phương trình x^2-Sx+P=0 với S=x_1+x_2,P=x_1x_2.

Bài 4.8.1. Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỷ có một nghiệm là \dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}.

Bài 4.8.2. Gọi x_1,x_2 là các nghiệm của phương trình x^2-7x+3=0. Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm là 2x_1-x_22x_2-x_1. Tính |2x_1-x_2|+|2x_2-x_1|.

 

Bài 4.8.3. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm x_1,x_2 thoả mãn 4x_1x_2-5(x_1+x_2)+4=0(x_1-1)(x_2-1)=\dfrac{1}{m+1}(m\not=-1).

 

Bài 4.8.4. Gọi a,b là các nghiệm của phương trình x^2+5x-8=0. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là \dfrac{a}{b+1}\dfrac{b}{a+1}.

 

Bài 4.8.5. Tìm các số p,q\in\mathbb{Z} sao cho phương trình x^2+px+q=0 có nghiệm nguyên và p+q=1992.

\boxed{4.9}. Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm

\clubsuit Phương pháp chung để giải bài toán dạng này là khử m từ hệ x_1+x_2=S,x_1x_2=P.

Bài 4.9.1. Cho phương trình x^2-mx+2m-3=0. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.

 

Bài 4.9.2. Cho phương trình 8x^2-4(m-2)x+m(m-4)=0. Xác định m để phương trình có nghiệm, gọi các nghiệm là x_1,x_2. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.

Bài 4.9.3. Cho phương trình bậc hai (m-2)x^2-2(m+2)x+2(m-1)=0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.

Bài 4.9.4. Cho phương trình bậc hai (m-1)^2x^2-(m-1)(m+2)x+m=0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m.

\boxed{5}. Nghiệm của hai phương trình bậc hai

 

\clubsuit Trong mục này chúng ta sẽ quan tâm đến các bài toán yêu cầu tìm tham số để hai phương trình có nghiệm chung(giao các tập nghiệm khác rỗng) hay hai phương trình tương đương(tập nghiệm của hai phương trình bằng nhau),…

Bài 5.1. Tìm các số thực a,b,c sao cho ac\not=0 và hai phương trình bậc hai ax^2+bx+c=0cx^2+bx+a=0 có nghiệm chung duy nhất.

Đáp số. ac\not=0|b|=|a+c|.\Box

Bài 5.2. Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung 2x^2-(3m+2)x+12=04x^2-(9m-2)x+36=0.

Đáp số. m=3.\Box

Bài 5.3. Tìm m để hai phương trình sau có nghiệm chung 2x^2+(3m+1)x-9=06x^2+(7m-1)x-19=0.

 

Đáp số. m=2m=\dfrac{2}{3}.\Box

Bài 5.4. Tìm m để hai phương trình 2x^2+mx-1=0mx^2-x+2=0 có nghiệm chung.

Đáp số. m=-1.\Box

Bài 5.5. Xác định m để hai phương trình x^2-mx+2m+1=0mx^2-(2m+1)x-1=0 có nghiệm chung.

Đáp số. m=-2.\Box

Bài 5.6. Xác định m để phương trình x^2-2mx+4m=0 có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phương trình x^2-mx+10m=0.

Đáp số. m=0m=-\dfrac{1}{2}.\Box

Bài 5.7. Cho hai phương trình x^2+x+a=0x^2+ax+1=0.

a)Tìm a để hai phương trình có nghiệm chung.

b)Tìm a để hai phương trình tương đương.

Đáp số. a=-2\dfrac{1}{4}<a<2.\Box

Bài 5.8. Tìm a để hai phương trình ax^2+x+1=0x^2+ax+1=0 có nghiệm chung.

Đáp số. a=-2.\Box

Bài 5.9. Cho hai phương trình x^2+ax+1=0x^2+bx+2=0. Tìm a,b để hai phương trình có nghiệm chung và |a|+|b| bé nhất.

 

Hướng dẫn. Điều kiện để hai phương trình có nghiệm chung là 2a^2-3ab+b^2+1=0. Từ đây suy ra a,b cùng dấu, hay |a|+|b|=|a+b|. Đặt a+b=m rồi tìm m để hệ a+b=m,2a^2-3ab+b^2+1=0 có nghiệm. Đáp số là \left(\pm\dfrac{5\sqrt{6}}{6};\pm\dfrac{7\sqrt{6}}{6}\right).\Box

Bài 5.10. Cho hai phương trình x^2+ax+6=0x^2+bx+12=0. Tìm a,b để hai phương trình có nghiệm chung và |a|+|b| bé nhất.

Đáp số. (\pm 5,\pm 7).\Box

\boxed{6}. Phương trình bậc hai trên \mathbb{Z}

 

\clubsuit Điều kiện cần để phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên hay nghiệm hữu tỷ là \Delta của nó phải là một bình phương đúng.

Bài 6.1. Tìm tất cả các số nguyên a để phương trình x^2-2ax-a-3=0

có nghiệm nguyên.

Bài 6.2. Với giá trị nguyên nào của k thì phương trình kx^2+(2k-1)x+k-2=0 có các nghiệm là các số hữu tỷ.

Bài 6.3. Gỉa sử p=\overline{abc} là số nguyên tố. Chứng minh rằng phương trình ax^2+bx+c=0 không thể có nghiệm hữu tỷ.

Lời giải. Dùng phương pháp hiệu bình phương của Fermat.\Box

Bài 6.4. Chứng minh rằng nếu a,b\in\mathbb{Z} và phương trình x^2+ax+b=0 có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó phải là số nguyên.

Bài 6.5. Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số nguyên lẻ thì phương trình ax^2+bx+c=0 không thể có nghiệm hữu tỷ.

Lời giải. \Delta\equiv 5\pmod{8}.\Box

\boxed{7}. Giao điểm của đường thẳng và Parabol

 

\clubsuit Cho đường thẳng (d) có phương trình y=mx+n và parabol (P) có phương trình y=ax^2(a\not=0). Khi đó số giao điểm của (d)(P) đúng bằng số nghiệm khác nhau của phương trình ax^2=mx+n, và hoành độ của giao điểm chính là nghiệm của phương trình này.

Bài 7.1. Cho (P):y=\dfrac{1}{2}x^2(d):y=\dfrac{1}{2}x+3.

a)Xác định toạ độ các giao điểm A,B của (d)(P);

b)Tìm P thuộc cung AB của (P) để diện tích tam giác ABC lớn nhất.

Bài 7.2. Cho (P):y=\dfrac{1}{2}x^2(d):y=mx+n. Tìm m,n để (d) đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm.

Bài 7.3. Cho (P):y=x^2. Tìm A\in (P) để tiếp tuyến tại A của (P) song song với đường thẳng (d):y=4x+5.

Bài 7.4. Cho (P):y=x^2 và hai điểm A,B\in (P) có hoành độ bằng -12 tương ứng. Tìm M trên cung AB của (P) sao cho tam giác AMB có diện tích lớn nhất.

Bài 7.5. Cho (P):y=x^2. Chứng minh rằng với mỗi M\in (d):y=-1/4, các tiếp tuyến kẻ từ M đến (P) vuông góc với nhau.

Bài 7.6. Cho (P):y=x^2. Tìm m để (d):y=mx+2 cắt (P) theo một dây cung có độ dài bé nhất.

Bài 7.7. Cho (P):y=\dfrac{1}{4}x^2.

a)Viết phương trình AB nếu A,B\in (P)x_A=-2,x_B=4;

b)Xác định M\in (P) nếu đường thẳng tiếp xúc với M tại (P) song song với AB.

Bài 7.8. Cho đường thẳng có phương trình (d):2(m-1)x+(m-2)y=2. Tìm m để (d) cắt (P):y=x^2 tại hai điểm phân biệt A,B, khi đó tìm toạ độ trung điểm của AB.

Bài 7.9. Chứng minh rằng với mỗi m, đường thẳng (d):y=mx+1 cắt (P):y=x^2 tại hai điểm phân biệt. Gọi hai điểm nói trên là A,B, tìm m để diện tích của tam giác OAB bằng 3.

Bài 7.10. Tìm m để (d):y=mx+4 tiếp xúc với (P):y=mx^2 tại điểm có hoành độ bằng -2.

27 thoughts on “Phương trình bậc hai và một số vấn đề liên quan”

  1. Em duyệt web bằng FF đi. Mà xem cái này làm gì? Lúc ôn thi Đại học đằng nào thầy chẳng dạy lại? Hay dạy cho cô bé nào lớp 9 à?😀

    1. Ngoài ra còn có cách xét các trường hợp về tập nghiệm nữa.
      Với trường hợp 2 tập nghiệm khác rỗng thì còn có thể dùng Vièt cho 2 pt rồi ép tổng và tiíc bằng nhau nữa.

  2. Giải hộ mình bài này với
    Cho phương trình xˆ2 – (2m+3)x + mˆ2 + 3m + 2 = 0
    a)Tìm m để phương trình có một nghiệm X=2. Tìm nghiệm còn lại.
    b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
    c) Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn -3 < X1 < X2 < 6
    d)Tìm m để phương trình có nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia
    Nếu có thể thì các bạn gửi vào maiyeube_ruacon_9x@yahoo.com.vn hộ mình với. Cảm ơn các bạn nhiều

  3. thầy ơi cho em hỏi bài 4.9.1 giải như thế nào ạ?Dạng bài này em sắp thi khảo sát 10

  4. Thầy, cho em hỏi là khi tìm m để có hai nghiệm âm thì delta lớn hơn hoặc bằng 0 hay là để delta lớn hơn 0 ạ. Thầy giải đáp dùm em.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s