Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2010


Ngày thứ nhất

Bài 1. \Delta ABC không vuông tại A, trung tuyến AMD là một điểm chạy trên AM. ( {O}_{1}),({O}_{2}) lần lượt là các đường tròn đi qua D và tiếp xúc với BC tại BCCA cắt ({O}_{2}) tại Q. BA cắt ({O}_{1}) tại P.

a)Chứng minh rằng tiếp tuyến tại P của ({O}_{1}) và tiếp tuyến tại Q của ({O}_{2})  phải cắt nhau, gọi giao điểm này là S.

b)Chứng minh rằng S luôn chạy trên một đường cố định khi D chạy trên AM.

Bài 2. Với mỗi n nguyên dương, xét tập sau {T}_{n}=\{11(k+h)+10({n}^{k}+{n}^{h})|1\leq k,h\leq 10\}. Tìm tất cả n sao cho không tồn tại a khác b\in {T}_{n}  sao cho a-b chia hết cho 110.

Bài 3. Hình chữ nhật  kích thước 1\times 2 được gọi là hình chữ nhật đơn( hcnd). hình chữ nhật 2\times 3 bỏ di hai ô ở góc chéo nhau(tức có có 4 ô) gọi là hcn kép (hcnk). Người ta ghép khít các hncd và hcnk được bảng 2008\times 2010. Tìm số bé nhất các hcnd có thể dùng để lát được như trên.

Ngày thứ hai

Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 16(a+b+c) \ge \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}. Chứng minh rằng \sum_{cyclic}{\dfrac{1}{(a+b+\sqrt{2(a+c)})^3}} \le \dfrac{8}{9}.

Bài 5.n mỗi nước có k đại diện (n > k > 1). Người ta chia nk người này thành n nhóm mỗi nhóm có k người sao cho không có hai  người cùng nhóm đến từ một nước. Chứng minh rằng có thể chọn ra n người đến từ các nhóm khác nhau và đến từ các nước khác nhau.

Bài 6. Gọi S_n là tổng bình phương các hệ số trong khai triển của (1+x)^n. Chứng minh rằng S_{2n} + 1 không chia hết cho 3.

———

Nguồn: Mathscope.org

1 thought on “Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự IMO 2010”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s