Áp dụng của Định lý cơ bản của Số học


1. Cho M là tập gồm 1985 số nguyên dương phân biệt, không số nào có ước nguyên tố lớn hơn 26. Chứng minh rằng M chứa một tập con có 4 phần tử mà tích của chúng là luỹ thừa bậc 4 của một số nguyên;

2. Chứng minh rằng với mỗi ba số nguyên dương a,b,c ta có \dfrac{[a,b,c]^2}{[a,b][b,c][c,a]}=\dfrac{(a,b,c)^2}{(a,b)(b,c)(c,a)};

3. Cho ab là các số nguyên dương thoả mãn a|b^2,b^2|a^3,a^3|b^4,\cdots. Chứng minh rằng a=b.

4. Let m_1, m_2, \cdots, m_r (may not distinct) and n_1, n_2 \cdots, n_s (may not distinct) be two groups of positive integers such that for any positive integer d larger than 1, the numbers of which can be divided by d in group m_1, m_2, \cdots, m_r (including repeated numbers) are no less than that in group n_1, n_2 \cdots, n_s  (including repeated numbers). Prove that \displaystyle \dfrac {m_1 \cdot m_2 \cdots m_r}{n_1 \cdot n_2 \cdots n_s} is integer.

5. Cho a,b là các số nguyên và n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng số \dfrac{b^{n-1}a(a+b)(a+2b)\cdots (a+(n-1)b)}{n!} là một số nguyên.

9 thoughts on “Áp dụng của Định lý cơ bản của Số học”

  1. Uhm. Trong các bài ở trên thì anh thích Bài 4 nhất, nhưng trên mạng bây giờ không có lời giải chính xác nào của nó cả.

  2. Bài đấy theo em thấy thì tư tưởng của nó có vẻ giống cái tính số mũ trong n! thôi. Bây giờ ta xét một số p bất kì. Gọi R và T là tập các số trong m_i và mà chia hết cho p. Khi đó theo giả thiết thì |R|>=|T|. Tương tự như thế nếu xét số p^2 thì tập các số trong dãy mà bội của p thì đều nằm trong R và T. Khi đó các số trong R/p và T/p vẫn thỏa mãn điều kiện bài toán( ở đây R/p= tập các số dạng x/p với x trong R).
    Như thế chia tiếp thành R_1 và T_1.
    Có thể thấy rằng số mũ của tích trên tử là |R_1|+…|R_k| và dưới mẫu là |T_1|+…+|T_k|. Từ đó ta thấy rằng số mũ của p trên tử luôn lớn hơn hoặc bằng dưới mẫu. Tức là phân số đó là số nguyên.
    @ Anh có quyển Analysis I của Tao ko ạ? Nếu có thì có thể cho em xin một bản được ko, em đang cần. Hoặc một quyển bài tập nào đó về Modern Analysis cũng được.

  3. Chú làm đúng rồi, anh làm cũng vậy. Còn về sách của T. Tao thì anh không có, bài tập về giải tích thì có nhiều, nhưng chú bảo anh là bài tập giải tích hiện đại(gồm Giải tích hàm,…) thì anh không có. Hay chú hỏi sách bài tập mà có các bài: Liên tục, khả vi, đơn điệu,…?

  4. Lop em dang hoc quyen Modern Analysis cua Dieudonne’ nen em muon tim mot quyen ma bai tap no tuong tu nhu quyen do. Giai tich ham thi em chua hoc toi, gio em dang doc quyen ‘Real and complex analysis” cua Rudin vi em doc qua quyen giai tich ham cua Conway no yeu cau phai doc cai do truoc.

  5. Khong han la giai tich co dien a, ma kieu nhu hoc giai tich qua Topology ay a. Em se xem thu cuon cua Makarov. Cam on anh nhe.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s