Áp dụng của Định lý cơ bản của Số học


1. Cho M là tập gồm 1985 số nguyên dương phân biệt, không số nào có ước nguyên tố lớn hơn 26. Chứng minh rằng M chứa một tập con có 4 phần tử mà tích của chúng là luỹ thừa bậc 4 của một số nguyên;

2. Chứng minh rằng với mỗi ba số nguyên dương a,b,c ta có \dfrac{[a,b,c]^2}{[a,b][b,c][c,a]}=\dfrac{(a,b,c)^2}{(a,b)(b,c)(c,a)};

3. Cho ab là các số nguyên dương thoả mãn a|b^2,b^2|a^3,a^3|b^4,\cdots. Chứng minh rằng a=b.

4. Let m_1, m_2, \cdots, m_r (may not distinct) and n_1, n_2 \cdots, n_s (may not distinct) be two groups of positive integers such that for any positive integer d larger than 1, the numbers of which can be divided by d in group m_1, m_2, \cdots, m_r (including repeated numbers) are no less than that in group n_1, n_2 \cdots, n_s  (including repeated numbers). Prove that \displaystyle \dfrac {m_1 \cdot m_2 \cdots m_r}{n_1 \cdot n_2 \cdots n_s} is integer.

5. Cho a,b là các số nguyên và n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng số \dfrac{b^{n-1}a(a+b)(a+2b)\cdots (a+(n-1)b)}{n!} là một số nguyên.

Một số bài toán về dãy số Fibonacci


1. Cho dãy Fibonacci xác định bởi F(1)=F(2)=1F(n+2)=F(n+1)+F(n)\forall n\geq 1.  Chứng minh rằng (F(F(1998)))^2+(F(F(1999)))^2=F(F(1997)). F(F(2000)).
2. Cũng với dãy trên, chứng minh rằng V_n,V_{n+1},V_{n+2} là các cạnh của một tam giác có diện tích bằng \dfrac{1}{2}, ở đây V_n=\sqrt{F_n^2+F_{n+2}^2}\forall n\geq 1.
3. Sequence \{ a_n \} satisfies: a_1 = 3, a_2 = 7, a_n^2 + 5 = a_{n - 1}a_{n + 1}, n \geq 2. If a_n + ( - 1)^n is prime, prove that there exists a nonnegative integer m such that n = 3^m.
4. Dãy (a_n) các số nguyên được xác định bởi a_0=0,a_1=1a_{n+2}=4a_{n+1}+a_n\forall n\geq 0. Tìm ước số chung lớn nhất của hai số a_{1986}a_{6891}.
5. Tìm tất cả các cặp (a,b) các số thực sao cho số aF_n+bF_{n+1} là một số Fibonacci với mỗi n.
6. Tìm tất cả các cặp (u,v) các số thực dương sao cho uF_n^2+vF_{n+1}^2 là một số Fibonacci với mỗi n.

Điểm gắn số


1. Tìm số nguyên dương n lớn nhất để có n điểm phân biệt A_i trong mặt phẳng và n số thực dương r_i thoả mãn A_iA_j=r_i+r_j với mỗi i\not=j;
2. Xác định tất cả các số nguyên dương n>3 sao cho có n điểm A_i trong mặt phẳng thoả mãn đồng thời hai tính chất sau
i)Không có ba điểm nào thẳng hàng, và
ii)Có n số thực r_i sao cho diện tích của tam giác A_iA_jA_k bằng r_i+r_j+r_k với mỗi 1\leq i<j<k\leq n.
3. Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt A_1,A_2,\cdots, A_n, và n số thực khác không \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n sao cho A_iA_j^2=\lambda_i+\lambda_j\forall i\not =j. Chứng minh rằng n\geq 4 và nếu n=4 thì \dfrac{1}{\lambda_1}+\dfrac{1}{\lambda_2}+\dfrac{1}{\lambda_3}+\dfrac{1}{\lambda_4}=0.