Bài số 5 trong CMO 2010


Năm nay Canada đã tổ chức kì thi Toán Quốc gia của họ rồi, đề thi các bạn có thể xem ở đây. Trong này có bài đa thức khá hay, vừa cần chút kiến thức về Số học vừa cần tý Đại số và Giải tích. Đề bài như sau

Bài toán. Cho P,Q là các đa thức với hệ số nguyên và (a_n) là dãy xác định bởi a_n=n!+n\forall n\geq 1. Chứng minh rằng nếu P(a_n)/Q(a_n)\in\mathbb{Z}\forall n\geq 1 thì P(n)/Q(n)\in\mathbb{Z} với mỗi số nguyên n không là nghiệm của Q.

Các bạn cùng làm xem. Bây giờ lời giải chưa có ở đâu cả.

7 thoughts on “Bài số 5 trong CMO 2010”

  1. Lâu lắm rồi không làm toán sơ cấp, em nghĩ nhanh thì thế này. Theo thuật toán Euclide thì ta có P=R.Q+t trong đó t là đa thức bậc nhỏ hơn Q.
    Thế thì theo bài toán ta có Q(a_n) là ước của T(a_n) với mọi n. Xét cái dãy T(a_n)/Q(a_n) thì dãy này nguyên và có giới hạn =0 nên từ lúc nào đó nó bằng 0. T(x) bằng 0 tại vô hạn điểm nên nó =0.
    Cái đó thì suy ra kết quả bài toán.
    Có thể thay a_n bằng một dãy nguyên tăng thực sự bất kì.

  2. R(x) có thể không phải là một đa thức có hệ số nguyên chú Tùng ạ.
    P.S. Chú viết tiếp cái Blog của chú đi nhé! Mốc lâu quá rồi đấy.

  3. À R(x) là đa thức hệ số hữu tỉ theo cái thuật toán Euclide, nhưng mà nhân thêm hệ số thì kết quả không sao vì P và Q là các đa thức hệ số nguyên. Sau đó thì đúng phải biện luận thêm một chút😀. Có thể thấy là dãy này có thể đồng dư mod k mod m với m tùy ý. Từ đó xây dựng một dãy liên tiếp mà R(k) nguyên nên R(x) là nguyên với mọi x nguyên.
    Kết quả tổng quát sẽ đúng nếu P và Q monic.
    Dạo này em bận quá, mà bây giờ viết thì chưa được nhiều. Khi nào học được kha khá viết cũng chưa muộn ạ😀

  4. Đúng rồi! Lập luận lằng nhằng tý thì quy về trường hợp Q là đa thức hằng. Bài toán có mỗi chỗ cuối cùng này là khó thôi. Anh đi ngủ đã, phải ngủ trước 12h mà bây giờ 12h21 roài.😛

  5. Em dùng kết quả sau để giải bài này.
    P là một đa thức nhận giá trị nguyên với mỗi giá trị nguyên của biến khi và chỉ khi nó là một tổ hợp tuyến tính nguyên của các đa thức nhị thức \dfrac{x(x-1)\cdots (x-k+1)}{k!}, ở đây k là số nguyên không âm.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s