Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2009-2010


Câu 1. Giải hệ phương trình

x^4-y^4=240

x^3-2y^3=3(x^2-4y^2)-4(x-8y).
Câu 2. Cho dãy số (a_n) xác định bởi  a_1=5, a_n=(a_{n-1}^{n-1}+2^{n-1}+2.3^{n-1})^{\dfrac{1}{n}}\forall n\geq 2.
a. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy;
b. Chứng minh rằng dãy này là dãy giảm.
Câu 3. Cho đường tròn (O). Hai điểm B,C cố định trên đường tròn, BC không phải đường kính. Lấy A là một điểm trên đường tròn không trùng với B,CAD,AE là các đường phân giác trong và ngoài. I là trung điểm của DE. Qua trực tâm tam giác ABC  kẻ đường thẳng vuông góc với AI  cắt AD,AE tại M,N.
a. Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định;
b. Tìm A  sao cho S(AMN) lớn nhất.
Câu 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n phương trình x^2+15y^2=4^n có ít nhất n nghiệm tự nhiên.
Câu 5. Cho bảng 3\times 3n là một số nguyên dương cho trước. Tìm số các cách tô màu không như nhau khi tô mỗi ô bởi một trong n  màu. Hai cách tô màu gọi la như nhau nếu một cách nhận được từ cách kia bởi một phép quay quanh tâm.

Nguồn MathScope (đã chỉnh sửa).

6 thoughts on “Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2009-2010”

  1. Điểm yếu của cái Câu 5 là cỡ của ma trận quá nhỏ, ma trận vuông cỡ 3, nên có thể rùa được. Nhưng nếu là ma trận vuông cấp m thì sao anh nhỉ?

    Đề năm nay khá tốt.

  2. Trên MS cũng có cậu tính được Câu 5 rồi, đúng là cỡ 3 bé quá. Câu 4 thì xuất hiện ở đâu đó rồi, nhưng mà chứng minh tồn tại, bài của ta lại bắt đếm. Nói chung đề này có Câu 3 và 5 là khó hơn cả.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s