1.3. Các véc tơ đẳng hướng


Định nghĩa 3Một phần tử x của một mô đun bậc hai (V,Q) được gọi là đẳng hướng nếu Q(x)=0. Một không gian con U của V được gọi là đẳng hướng nếu tất cả các véc tơ của nó đẳng hướng.

Hiển nhiên ta có U đẳng hướng \Leftrightarrow U\subset U^0\Leftrightarrow Q|U=0.

Định nghĩa 4.-Một mô đun bậc hai có một cơ sở hình thành bởi hai phần tử đẳng hưóng x,y sao cho x.y\not =0 được gọi là một phẳng hyperbolic.

Sau khi nhân y với \dfrac{1}{x.y} ta có thể giả sử là x.y=1. Khi đó ma trận của dạng bậc hai tương ứng với x,y\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\right), định thức của nó bằng -1(nói riêng nó là không suy biến).

Mệnh đề 3.-Cho x là một phần tử đẳng hướng khác 0 của một mô đun bậc hai không suy biến (V,Q). Khi đó tồn tại không gian con U của V chứa x và là một phẳng hyperbolic.

V không suy biến, tồn tại z\in V sao cho x.z=1. Phần tử y=2z-(z.z)x là đẳng hướng và x.y=2. Không gian con U=kx+ky có tính chất như mệnh đề yêu cầu.

Hệ quả.-Nếu (V,Q) không suy biến và chứa một phần tử đẳng hướng khác 0 thì Q(V)=k.

(Nói cách khác, với mỗi a\in k tồn tại v\in V để Q(v)=a.)

Chú ý đến mệnh đề, ta chỉ cần chứng minh hệ quả với V là một phẳng hyperbolic với cơ sở x,y sao cho x,y đẳng hướng và x.y=1. Nếu a\in k thì a=Q(x+\dfrac{a}{2}y), từ đây ta có Q(V)=k.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s