Trường các số phức không thể được sắp toàn phần


Ta không thể xác định một thứ  tự  toàn phần trên \mathbb{C}, nghĩa là không có một quan hệ > trên \mathbb{C} sao cho ba điều kiện sau được thoả  mãn đồng thời

a)Với mỗi hai số phức u,v, một và chỉ một trong những  khả năng sau xảy ra u>v,v>u,u=v;

b)Với mỗi ba số phức z_1,z_2,z_3, quan hệ z_1>z_2 kéo theo quan hệ z_1+z_3>z_2+z_3;

c)Với mỗi ba số phức z_1,z_2,z_3 với z_3>0 thì quan hệ z_1>z_2 kéo theo z_1z_3>z_2z_3.

Thật vậy, nếu có một quan hệ như thế thì vì i khác 0 nên chỉ có thể i>0 hoặc 0>i.

Nếu i>0 thì nhân hai vế của quan hệ này với phần tử dương i ta được -1>0, nhân hai vế với -1 ta được 1>0. Sử  dụng b), ta cộng hai vế của -1>0 với 1 ta có 0>1. Mâu thuẫn!

Nếu 0>i, cộng hai vế với -i ta có -i>0, nhân hai vế của quan hệ cuối này với -i ta có -1>0. Nhân hai vế của quan hệ -i>0 với -1 ta có i>0. Lại mâu thuẫn!😀

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s