1.2. Tính trực giao


Cho (V,Q) là một mô đun bậc hai trên k. Hai phần tử x,y của V được gọi là trực giao nếu x.y=0. Tập tất cả các phần tử trực giao với một tập con H được ký hiệu bởi H^0; nó là một không gian véc tơ con của V. Nếu V_1V_2 là các không gian véc tơ con của V, chúng được gọi là trực giao nếu V_1\subset V_2^0, nghĩa là nếu x\in V_1y\in V_2 thì x.y=0.

Thành phần trực giao V^0 của V được gọi là căn(hay hạch của V) và được ký hiệu bởi \text{rad}(V). Đối chiều của nó được gọi là hạng của Q. Nếu V^0=0 thì Q gọi là không suy biến; điều này tương đương với việc định thức của Q khác 0(trong trường hợp này ta xem nó như một phần tử của k^*/k^{*2}).

Cho U là một không gian véc tơ con của V, và U^* là đối ngẫu của U. Cho q_U:V\to U^* là hàm ứng mỗi x\in V với dạng tuyến tính (y\in U \mapsto x.y). Nhân của q_UU^0. Nói riêng Q không suy biến khi và chỉ khi q_V là một đẳng cấu.

Định nghĩa 2.-Cho U_1,\cdots, U_m là các không gian véc tơ con của V. Ta nói V là tổng trực tiếp trực giao của các U_i nếu chúng đôi một trực giao và V là tổng trực tiếp của chúng. Khi đó ta viết V=U_1 \widehat{\oplus}\cdots\widehat{\oplus} U_m.

Chú ý-Nếu x\in V có các thành phần x_i trong U_i thì Q(x)=Q_1(x_1)+\cdots+Q_m(x_m), ở đây Q_i=Q|U_i là thu hẹp của Q trên U_i. Ngược lại, nếu (U_i,Q_i) là một họ các mô đun bậc hai, công thức trên cho một dạng bậc hai Q trên \oplus U_i, gọi là tổng trực tiếp của các Q_i và ta có V=U_1 \widehat{\oplus}\cdots\widehat{\oplus} U_m.

Mệnh đề 1Nếu U là một không gian con bù tuyến tính của \text{rad}(V) trong V thì V=U\widehat{\oplus}\text{rad}(V).

Điều này là đơn giản.

Mệnh đề 2.-Gỉa sử (V,Q) là không suy biến. Khi đó:

i)Tất cả các cấu xạ metric của V tới một mô đun bậc hai (V',Q') là đơn ánh.

ii)Với tất cả các không gian véc tơ con U của V, ta có U^{00}=U, \dim U+\dim U^0=\dim V, \text{rad}(U)=\text{rad}(U^0)=U\cap U^0.

Mô đun bậc hai U không suy biến nếu và chỉ nếu U^0 không suy biến, trong trường hợp đó V=U\widehat{\oplus} U^0.

iii)Nếu V là tổng trực tiếp trực giao của hai không gian con, họ là không suy biến và trực giao với nhau.

Nếu f:V\to V' là một cấu xạ metric, và nếu f(x)=0, ta có x.y=f(x).f(y)=0\forall y\in V; điều này kéo theo x=0 bởi vì (V,Q) là không suy biến.

Nếu U là một không gian con của V, đồng cấu q_U:V\to U^* xác định như trên là một toàn ánh; thật vậy, nó được hình thành bởi hợp của q_V:V\to V^* với toàn cấu chính tắc V^*\to U^* và ta đã giả sử rằng q_V song ánh. Vậy ta có một dãy khớp 0\to U^0\to V\to U^*\to 0, do vậy \dim V=\dim U^*+\dim U^0=\dim U+\dim U^0 . Điều này chứng tỏ UU^{00} có cùng chiều; vì U chứa trong U^{00} ta có U=U^{00}. Công thức \text{rad}(U)=U\cap U^0 là đơn giản; áp dụng nó với U^0 và chú ý U=U^{00} ta có \text{rad}(U)=\text{rad}(U^0) và phần cuối cùng của ii) cũng được chứng minh. Phần iii) là đơn giản.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s