1.1. Các định nghĩa


Đầu tiên ta nhắc lại định nghĩa của một dạng bậc hai (xem Bourbaki, Alg., chap. IX, 3, n 4).

Định nghĩa 1.-Cho V là một mô đun trên một vành giao hoán A. Một hàm Q:V\to A được gọi là một dạng bậc hai trên V nếu

1)Q(ax)=a^2Q(x)\forall a\in A\forall x\in V

2)Hàm (x,y)\mapsto Q(x+y)-Q(x)-Q(y) là một dạng song tuyến tính.

Một cặp (V,Q) như vậy được gọi là một mô đun bậc hai. Trong chương này ta chỉ xét A là một trường k có đặc số khác 2. Khi đó A-mô đun V là một k-không gian véc tơ, ta giả sử rằng chiều của nó là hữu hạn. Ta đặt x.y=\dfrac{1}{2}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y)), điều này làm được vì đặc số của k là khác 2. Ánh xạ (x,y)\mapsto x.y là một dạng song tuyến tính trên V, gọi là  tích vô hướng kết hợp với Q. Ta có Q(x)=x.x. Điều này hình thành một song ánh giữa tập các dạng bậc hai và tập các dạng song tuyến tính đối xứng(điều này không đúng nếu đặc số của k bằng 2).

Nếu (V,Q)(V',Q') là các mô đun bậc hai, một ánh xạ tuyến tính f:V\to V' sao cho Q'f=Q được gọi là một cấu xạ (hay cấu xạ metric) của (V,Q) đến (V',Q'), khi đó f(x).f(y)=x.y\forall x,y\in V.

Ma trận của một dạng bậc hai.-Cho (e_i)_{1\leq i\leq n} là một cơ sở của V. Ma trận của Q tương ứng với cơ sở này là ma trận A=(a_{ij}) với a_{ij}=e_i.e_j; nó là một ma trận đối xứng. Nếu x=\sum x_ie_i là một phần tử của V thì Q(x)=\sum a_{ij}x_ix_j, điều này chứng tỏ Q(x) là một “dạng bậc hai” theo các biến x_1,\cdots,x_n theo nghĩa thông thường.

Nếu ta thay đổi cơ sở (e_i) qua một ma trận khả nghịch X thì ma trận A' của Q theo cơ sở mới là XAX^t, ở đây X^t là chuyển vị của X. Nói riêng ta có \det(A')=\det(A)\det(X)^2. Điều này chứng tỏ rằng \det(A) xác định sai khác một phép nhân với một phần tử của k^{*2}. Nó được gọi là định thức của Q và được ký hiệu bởi \text{disc}(Q).

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s