Một tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức


Các bạn học sinh phổ thông chắc đã biết tiêu chuẩn Eisenstein:

Gỉa sử ta có một đa thức với hệ số nguyên f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0.  Nếu có một số nguyên tố p sao cho tất cả các hệ số của nó trừ a_n chia hết cho p nhưng a_0 không chia hết cho p^2 thì f(x) bất khả quy trên \mathbb{Q}.

Dưới đây là một tiêu chuẩn khác và các ví dụ áp dụng:

Cho p là một số nguyên tố. Nếu một đa thức A(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0 với các hệ số nguyên là phân tích được trong \mathbb{Z}[x]p chia hết các hệ số a_0,\cdots,a_{n-2} nhưng không chia hết a_np^2 không chia hết a_0 khi đó p không chia hết a_{n-1}A(x) phải có nghiệm hữu tỷ.
1. Cho các số nguyên tố khác nhau pq và số tự nhiên n>2. Tìm tất cả các số nguyên a sao cho f(x)=x^n+ax^{n-1}+pq có thể viết được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc ít nhất 1.
2. Cho n>1 là một số nguyên và cho f(x)=x^n+5x^{n-1}+3. Chứng minh rằng f không thể viết dưới dạng tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc ít nhất 1.
3. Tìm tất cả các số nguyên k để có vô hạn giá trị nguyên n>2 thoả mãn đa thức P_n(x)=x^{n+1}+kx^n-870x^2+1945x+1995 có thể phân tích được thành tích của hai đa thức có hệ số nguyên với bậc ít nhất 1.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s