[Bài bạn Hiếu hỏi] Tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương


Hôm nay Lỗ nhận được một câu hỏi thế này:

Bài toán. Cho a,b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm các giá trị có thể của ước chung lớn nhất của hai số a+b,a^2-ab+b^2.

Đây là lời giải của Lỗ: Gọi d là ước chung lớn nhất của hai số trên. Số này có thể nhận giá trị 1, chẳng hạn khi a=b=1. Gìơ ta sẽ chỉ xét trường hợp nó lớn hơn 1. Như vậy số này ắt hẳn có một uớc nguyên tố p nào đó. Tôi khẳng định rằng p phải bằng 3, nếu trái lại ta sẽ có a+ba^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab chia hết cho p, suy ra a+bab chia hết cho p (vì p\not =3), hay cả ab chia hết cho p, điều này trái với giả thiết hai số này nguyên tố cùng nhau.Như vậy là d=3^k với k là số nguyên dương nào đó, ta thấy là k phải bằng 1, vì nếu khác đi thì cũng biến đổi như trên ta được a+bab cùng chia hết cho 3, và a,b cũng chia hết cho 3, vô lý với tính nguyên tố cùng nhau của chúng. Cuối cùng, d có thể bằng 3, chẳng hạn a=1,b=2.

Vậy đáp số là 13. Đúng như  ông bạn tôi đoán! Chúc bạn Hiếu và gia đình mạnh khoẻ. Chuẩn bị dự đám cưới của tớ nhé!😛

4 thoughts on “[Bài bạn Hiếu hỏi] Tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương”

  1. Thế cô chú cứ chuẩn bị tiền tàu xe cùng tiền thuê nhà nghỉ. Tiền mừng anh cho nợ đến khi cô chú cưới anh đỡ phải mừng.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s