Chứng minh định lý cơ bản của Đại số bằng một kết quả của Tô pô


Có thể nói là Tô pô đại số là môn dùng Đại số để nghiên cứu Tô pô. Bài này Lỗ sẽ giới thiệu một cách chứng minh của định lý cớ bản của đại số mà dùng Tô pô. Một chứng minh khác của định lý này đã được giới thiệu ở đây.

Định lý. Mỗi đa thức khác hằng với hệ số trong \mathbb{C} đều có nghiệm trong \mathbb{C}.

Chứng minh. Viết p(z)=z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_n và giả sử  ngược lại rằng đa thức này không có nghiệm trong \mathbb{C}.  Khi đó với mỗi r\geq 0 công thức f_r(s)=\dfrac{p(re^{2\pi i s})/p(r)}{|p(re^{2\pi i s})/p(r)|} xác định một đường đóng tại 1 trong S^1\subset\mathbb{C}. Khi r thay đổi thì f_r là một đồng luân của các đường đóng tại 1, suy ra [f_r]\in\pi_1(S^1) là đơn vị với mỗi r(vì f_0 là đường hằng).

Chọn r>\max(|a_1|+\cdots+|a_n|,1). Với mỗi |z|=r ta có |z^n|>|a_1z^{n-1}+\cdots+a_n|, suy ra đa thức p_t(z)=z^n+t(a_1z^{n-1}+\cdots+a_n) không có nghiệm trên đường tròn |z|=r với mỗi t\in [0,1].  Thay p bởi p_t trong công thức xác định f_r và cho t chạy từ 1 về 0 ta thấy f_r đồng luân với \omega_n(s)=e^{2\pi i n s}, mà phần tử sinh của nhóm cyclic vô hạn \pi_1(S^1)[\omega_1][\omega_n]=[f_r]=0 nên ta có n=0.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s