Đường cong đại số trong mặt phẳng xạ ảnh phức


Giả sử f(x,y) là một đa thức hai biến với hệ số thực. Khi đó tập \{(x,y)\in\mathbb{R}^2|f(x,y)=0\}(1) được gọi là một đường cong đại số thực, bậc của f được gọi là bậc của đường cong đại số thực này.

Đường cong đại số thực bậc 1 là đường thẳng, bậc 2 là parabol, ellip, hyperbol; đây đều là các đối tượng quen biết trong chương trình toán phổ thông hiện nay. Nhưng với các đường cong đại số thực có bậc lớn hơn 2 thì mọi chuyện không đơn giản như thế, có những bài toán không thể có lời giải đầy đủ bởi vì \mathbb{R} không phải là trường đóng đại số. Chẳng hạn, ta muốn tìm số giao điểm của một đường thẳng L và một đường cong đại số C cho bởi (1). Thay đổi toạ độ nếu cần thiết, ta có thể giả sử L đi qua gốc toạ độ, bởi thế mà phương trình tham số của nó là x=\alpha t,y=\beta t\,\,(t\in\mathbb{R})(2) ở đây \alpha\beta là các số thực không đồng thời bằng 0. Viết f(x,y) dưới dạng f(x,y)=f_n(x,y)+f_{n-1}(x,y)+\cdots +f_0, với các f_k(x,y) là các đa thức thuần nhất có bậc k. Thay (2) vào (1) ta có f_n(\alpha,\beta)t^n+f_{n-1}(\alpha,\beta)t^{n-1}+\cdots+f_0=0. (3) Xác định số nghiệm thực của phương trình này không đơn giản, hơn nữa, chúng ta không thể hy vọng một kết quả đẹp đẽ vì số nghiệm thực của một đa thức với hệ số thực phụ thuộc vào các hệ số của đa thức đó. Nhưng khi ta xét f(x,y) như một đa thức hai biến với hệ số phức và coi (1) như một đường cong đại số trên \mathbb{C}^2, thì số giao điểm của đường thẳng phức (2) với đường cong đại số phức (1) lại cho bởi phương trình (3). Theo định lý cơ bản của Đại số, phương trình (3) có đúng n nghiệm kể cả bội khi f_n(\alpha,\beta)\not =0, và do đó đường cong đại số phức C và đường thẳng phức L cắt nhau tại n điểm tính cả bội. Điều gì xảy ra nếu f_n(\alpha,\beta)=0? Giả sử f_n(\alpha,\beta)=f_{n-1}(\alpha,\beta)=\cdots=f_{m+1}(\alpha,\beta)=0,f_m(\alpha,\beta)\not=0, khi đó LC chỉ cắt nhau tại m điểm trong \mathbb{C}^2. Trong trường hợp này ta có thể xem (n-m) giao điểm còn lại nằm tại vô hạn. Cụ thể là, thay \dfrac{1}{s} vào t trong (3) ta có f_n(\alpha,\beta)+f_{n-1}(\alpha,\beta)s+\cdots+f_0s^n=0.(4) Nếu f_n(\alpha,\beta)\not =0 thì s=0(tương ứng với t=\infty) không phải là nghiệm của (4), nếu f_n(\alpha,\beta)=f_{n-1}(\alpha,\beta)=\cdots=f_{m+1}(\alpha,\beta)=0,f_m(\alpha,\beta)\not=0 thì s=0(tương ứng với t=\infty) là nghiệm của (4) với bội (n-m). Khi đó ta nói LC cắt nhau tại điểm vô hạn với bội (n-m). Do vậy, để thuận lợi, ta sẽ bổ sung một đường thẳng tại vô hạn vào \mathbb{C}^2, bằng cách này ta sẽ có mặt phẳng xạ ảnh phức P^2\mathbb{C}. Cách thuận tiện nhất để bổ sung một đường thẳng tại vô hạn vào \mathbb{C}^2 là sử dụng toạ độ thuần nhất. Với một điểm (x,y)\in\mathbb{C}^2, toạ độ thuần nhất của nó là mỗi bộ ba các số phức (\zeta ,\xi ,\eta ) thoả mãn x=\dfrac{\xi}{\zeta},y=\dfrac{\eta}{\zeta}. (5) Nếu (\zeta ,\xi ,\eta ) là một toạ độ thuần nhất của (x,y) thì (\lambda\zeta ,\lambda\xi ,\lambda\eta )(\lambda\in\mathbb{C},\lambda\not =0) cũng là một toạ độ thuần nhất của (x,y). Muốn (5) xác định thì \zeta\not =0, nhưng nếu \xi\eta không đồng thời bằng 0 thì khi \zeta\to 0 các điểm (x=\dfrac{\xi}{\zeta},y=\dfrac{\eta}{\zeta}) sẽ tiến đến vô hạn theo hướng \xi:\eta. Do đó ta có thể ký hiệu điểm tại vô hạn theo hướng \xi:\eta bởi (0,\xi,\eta). Theo cách này, qua các toạ độ thuần nhất ta có thể bổ sung một điểm tại vô hạn theo mỗi hướng trong \mathbb{C}^3, tập tất cả các điểm vô hạn như vậy được gọi là đường thẳng tại vô hạn, ký hiệu bởi L_{\infty}. \mathbb{C}^3 cùng với L_{\infty} được gọi là mặt phẳng xạ ảnh phức P^2\mathbb{C}. Chính xác hơn, ta có thể xây dựng mặt phẳng xạ ảnh phức như sau, trong tập \mathbb{C}^3-\{(0,0,0)\} ta đưa vào quan hệ \thicksim được định nghĩa bởi (\zeta,\xi,\eta)\thicksim (\zeta',\xi',\eta') khi và chỉ khi có số phức \lambda\not =0 thoả mãn \zeta'=\lambda\zeta,\xi'=\lambda\xi,\eta'=\lambda\eta. Đây là một quan hệ tương đương, \mathbb{C}^3-\{(0,0,0)\} được chia thành các lớp tương đương, lớp tương đương chứa (\zeta,\xi,\eta)\in\mathbb{C}^3-\{(0,0,0)\} được ký hiệu bởi [\zeta,\xi,\eta]. Dễ thấy [\zeta,\xi,\eta]=[\lambda\zeta,\lambda\xi,\lambda\eta]\forall\lambda\in\mathbb{C}-\{0\}. Không gian thương sinh bởi quan hệ tương đương này được gọi là mặt phẳng xạ ảnh phức và được ký hiệu bởi P^2\mathbb{C}, nó được trang bị tô pô thương và là một đa tạp phức. Giờ ta khảo sát biểu diễn theo toạ độ thuần nhất cúa đường cong C cho bởi (1). Thay x=\dfrac{\xi}{\zeta},y=\dfrac{\eta}{\zeta} vào (1), rút gọn ta được F(\zeta,\xi,\eta)=f_n(\xi,\eta)+f_{n-1}(\xi,\eta)\zeta+\cdots+f_0\zeta^n=0. Vế trái của phương trình này là một đa thức thuần nhất theo các biến \zeta,\xi,\eta. Trong trường hợp tổng quát, nếu F(\zeta,\xi,\eta) là một đa thức thuần nhất theo các biến \zeta,\xi,\eta thì F(\zeta,\xi,\eta)=0(6) biểu diễn một đường cong đại số trong P^2\mathbb{C}, và  bậc của F được gọi là bậc của đường cong này. Phương trình (6) gọi là phương trình thuần nhất của đường cong đó. Nếu ta chỉ xét trên \mathbb{C}^2=P^2\mathbb{C}-L_{\infty} thì đường cong này thoả mãn phương trình affine f(x,y)=0 (7) ở đây f(x,y)=F(1,x,y). Theo cách này phương trình thuần nhất của đường cong xác định phương trình affine của nó trên \mathbb{C}^2=P^2\mathbb{C}-L_{\infty}. Mặt khác, bậc của được cong(giả sử bằng n) và phương trình affine của nó trên \mathbb{C}^2=P^2\mathbb{C}-L_{\infty} xác định duy nhất phương trình thuần nhất của nó F(\zeta,\xi,\eta)=0, ở đây F(\zeta,\xi,\eta)=\zeta^nf\left(\dfrac{\xi}{\zeta},\dfrac{\eta}{\zeta}\right). Nếu một đường cong đại số C cho bởi F(\zeta,\xi,\eta)=0, và F phân tích thành tích các đa thức thuần nhất bất khả quy F=F_1^{m_1}\cdot F_2^{m_2}\cdot\cdots\cdot F_l^{m_l} thì ta viết C=m_1C_1+m_2C_2+\cdots+m_lC_l, ở đây C_j=\{(\zeta,\xi,\eta)\in P^2\mathbb{C}|F_j(\zeta,\xi,\eta)=0\}(j=1,2,\cdots,n). Mỗi C_j được gọi là một thành phần bất khả quy của C. Đặc biệt khi chính F là một đa thức bất khả quy thì C được gọi là một đường cong bất khả quy.

—–

Bài này Lỗ lấy gần nguyên si từ  sách “Mở đầu về đường cong đại số” của Griffiths.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s