2.2. Tồn tại các số hữu tỷ với các ký hiệu Hilbert cho trước


Định lý 4.-Cho (a_i)_{i\in I} là một họ hữu hạn các phần tử trong \mathbb{Q}^*(\epsilon_{i,v})_{i\in I,v\in V} là họ các số bằng \pm 1. Điều kiện cần và đủ để tồn tại x\in\mathbb{Q}^* sao cho cho (a_i,x)_v=\epsilon_{i,v} vớí mỗi i\in I và mỗi v\in V

(1)Hầu hết các số \epsilon_{i,v} bằng 1.

(2)Với mỗi i\in I ta có \prod_{v\in V}\epsilon_{i,v}=1.

(3)Với mỗi v\in V tồn tại x_v\in\mathbb{Q}_v^* sao cho (a_i,x_v)_v=\epsilon_{i,v} vớí mỗi i\in I.

Tính cần của (1) và (2) suy ra từ định lí 3, tính cần của (3) là tầm thường (lấy x_v=x). Để chứng minh tính đủ của các điều kiện này ta cần ba bổ đề sau đây

Bổ đề 1.(“Định lý phần dư Trung Hoa”)-Cho a_1,\cdots,a_n,m_1,\cdots,m_n là các số nguyên với các m_i nguyên tố với nhau từng cặp. Có số nguyên a sao cho a\equiv a_i\pmod{m_i} với mỗi i.

Cho m là tích của các số m_i. Định lý Bezout chứng tỏ rằng đồng cấu chính tắc \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\to \prod_{i=1}^n\mathbb{Z}/m_i\mathbb{Z} là một đẳng cấu. Bổ đề được suy ra từ điều này.

Bổ đề 2.(“Định lý sấp xỉ”)-Cho S là một tập con hữu hạn của V. Ảnh của \mathbb{Q} trong \prod_{v\in S}\mathbb{Q}_v là trù mật trong tích này(với tô pô tích của các \mathbb{Q}_v).

Nếu cần thì mở rộng S, giả sử rằng S=\{\infty,p_1,\cdots,p_n\} ở đây p_i là các số nguyên tố phân biệt và ta phải chứng minh rằng \mathbb{Q} trù mật trong \mathbb{R}\times\mathbb{Q}_{p_1}\times\cdots\times\mathbb{Q}_{p_n}. Cho (x_{\infty},x_1,\cdots,x_n) là một điểm của tích này, ta sẽ chứng minh nó là một điểm tụ của \mathbb{Q}. Sau khi nhân với một số nguyên ta có thể giả sử rằng x_i\in\mathbb{Z}_{p_i} với mỗi 1\leq i\leq n. Bây giờ ta phải chứng minh rằng với mỗi \epsilon>0 và mỗi số nguyên N>0, có x\in\mathbb{Q} sao cho |x-x_{\infty}|\leq\epsilonv_{p_i}(x-x_i)\geq N với i=1,\cdots,n. Theo bổ đề 1 áp dụng với m_i=p_i^N, tồn tại x_0\in\mathbb{Z} sao cho v_{p_i}(x_0-x_i)\geq N với mỗi i. Bây giờ chọn số nguyên q\geq 2 nguyên tố với tất cả các p_i(ví dụ là một số nguyên tố). Các số hữu tỷ có dạng a/q^m,a\in\mathbb{Z},m\geq 0 trù mật trong \mathbb{R}(điều này có đơn giản từ kết quả q^m\to\infty khi m\to\infty). Chọn một số u=a/q^m như vậy với |x_0-x_{\infty}+up_1^N\cdots p_n^N|\leq\epsilon. Số hữu tỷ x=x_0+up_1^N\cdots p_n^N có tính chất cần tìm.

Bổ đề 3.(Định lý Dirichlet)-Nếu am là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì có vô hạn các số nguyên tố p sao cho p\equiv a\pmod{m}.

Chứng minh sẽ cho trong chương VI; người đọc có thể kiểm tra rằng nó không dùng các kết quả của các chương III,IV và V.

Bây giờ trở lại với định lý 4, và cho (\epsilon_{i,v}) là họ các số bằng \pm 1 và thoả mãn các điều kiện (1),(2) và (3). Sau khi nhân với các bình phương của các số nguyên, có thể giả sử rằng tất các các a_i là các số nguyên. Gọi S là tập con của V gồm \infty,2 và các uớc nguyên tố của các a_i; T là tập các v\in V sao cho tồn tại i\in I với \epsilon_{i,v}=-1; hai tập này là các tập hữu hạn. Ta sét hai trường hợp

1)Ta có S\cap T=\emptyset.

Đặt a=\prod_{l\in T,l\not =\infty}lm=8\prod_{l\in S,l\not =2,\infty}l. Vì S\cap T=\emptyset nên các số nguyên am là nguyên tố cùng nhau, theo bổ đề 3 tồn tại số nguyên tố p sao cho p\equiv a\pmod{m} với p\not\in S\cup T. Ta sẽ chứng minh rằng x=ap có các tính chất cần tìm, nghĩa là (a_i,x)_v=\epsilon_{i,v}\forall i\in I\forall v\in V. Nếu v\in S ta có \epsilon_{i,v}=1S\cap T=\emptyset, và ta phải kiểm tra rằng (a_i,x)_v=1. Nếu v=\infty thì điều này có từ x>0; nếu v là một số nguyên tố l, ta có x\equiv a^2\pmod{m}, do đó x\equiv a^2\pmod{8} với l=2x\equiv a^2\pmod{l} với l\not =2;  vì xa là các đơn vị l-adic, điều này chứng tỏ rằng x là một bình phương trong \mathbb{Q}_l^*(xem chương II mục 3.3) và ta có (a_i,x)_v=1. Nếu v=l\not\in S, a_i là một đơn vị l-adic. Vì l\not =2 ta có (a_i,b)_l=\left(\dfrac{a_i}{l}\right)^{v_l(b)}\forall b\in\mathbb{Q}_l^* theo định lý 1. Nếu l\not\in T\cap\{p\}, x là một đơn vị l-adic, do đó v_l(x)=0 và công thức trên chứng tỏ rằng (a_i,x)_l=1; mặt khác ta có \epsilon_{i,l}=1l\not\in T. Nếu l\in T ta có v_l(x)=1; hơn nữa điều kiện (3) chứng tỏ rằng tồn tại x_l\in\mathbb{Q}_l^* sao cho (a_i,x_l)_l=\epsilon_{i,l}\forall i\in I; vì một trong các \epsilon_{i,l} bằng -1(vì l\in T), ta có v_l(x_l)\equiv 1\pmod{2} do đó (a_i,x)_l=\left(\dfrac{a_i}{l}\right)=(a_i,x_l)_l=\epsilon_{i,l}\forall i\in I. Còn lại trường hợp l=p, ta quy về các trường hợp khác khi sử dụng công thức tích (a_i,x)_p=\prod_{v\not =p}(a_i,x)_v=\prod_{v\not=p}\epsilon_{i,v}=\epsilon_{i,p}. Điều này cho chứng minh đầy đủ định lý 4 trong trường hợp S\cap T=\emptyset.

2)Trường hợp tổng quát.

Ta biết rằng các bình phương trong \mathbb{Q}_v^* lập thành một nhóm con mở của \mathbb{Q}_v^*, xem chương II mục 3.3. Theo bổ đề 2, tồn tại x'\in\mathbb{Q}^* sao cho x'/x_v là một bình phương trong \mathbb{Q}_v^* với mỗi v\in S. Nói riêng (a_i,x')_v=(a_i,x_v)_v=\epsilon_{i,v}\forall v\in S. Nếu ta đặt \eta_{i,v}=\epsilon_{i,v}(a_i,x')_v thì họ (\eta_{i,v}) thoả mãn các điều kiện (1),(2),(3) và hơn nữa \eta_{i,v}=1 nếu v\in S. Theo 1) ở trên tồn tại y\in\mathbb{Q}^* sao cho (a_i,y)_v=\eta_{i,v}\forall i\in I\forall v\in V. Nếu ta đặt x=yx' thì dễ thấy x có các tính chất đòi hỏi.

5 thoughts on “2.2. Tồn tại các số hữu tỷ với các ký hiệu Hilbert cho trước”

  1. Bạn tìm trong Apostol nhé!? cho hỏi cái này ở đâu vậy? tìm không thấy, cũng đang quan tâm?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s