Định lý 4.-Cho là một họ hữu hạn các phần tử trong
và
là họ các số bằng
. Điều kiện cần và đủ để tồn tại
sao cho cho
vớí mỗi
và mỗi
là
(1)Hầu hết các số bằng
.
(2)Với mỗi ta có
.
(3)Với mỗi tồn tại
sao cho
vớí mỗi
.
Tính cần của (1) và (2) suy ra từ định lí 3, tính cần của (3) là tầm thường (lấy ). Để chứng minh tính đủ của các điều kiện này ta cần ba bổ đề sau đây
Bổ đề 1.(“Định lý phần dư Trung Hoa”)-Cho là các số nguyên với các
nguyên tố với nhau từng cặp. Có số nguyên
sao cho
với mỗi
.
Cho là tích của các số
. Định lý Bezout chứng tỏ rằng đồng cấu chính tắc
là một đẳng cấu. Bổ đề được suy ra từ điều này.
Bổ đề 2.(“Định lý sấp xỉ”)-Cho là một tập con hữu hạn của
. Ảnh của
trong
là trù mật trong tích này(với tô pô tích của các
).
Nếu cần thì mở rộng , giả sử rằng
ở đây
là các số nguyên tố phân biệt và ta phải chứng minh rằng
trù mật trong
. Cho
là một điểm của tích này, ta sẽ chứng minh nó là một điểm tụ của
. Sau khi nhân với một số nguyên ta có thể giả sử rằng
với mỗi
. Bây giờ ta phải chứng minh rằng với mỗi
và mỗi số nguyên
, có
sao cho
và
với
. Theo bổ đề 1 áp dụng với
, tồn tại
sao cho
với mỗi
. Bây giờ chọn số nguyên
nguyên tố với tất cả các
(ví dụ là một số nguyên tố). Các số hữu tỷ có dạng
trù mật trong
(điều này có đơn giản từ kết quả
khi
). Chọn một số
như vậy với
. Số hữu tỷ
có tính chất cần tìm.
Bổ đề 3.(Định lý Dirichlet)-Nếu và
là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì có vô hạn các số nguyên tố
sao cho
.
Chứng minh sẽ cho trong chương VI; người đọc có thể kiểm tra rằng nó không dùng các kết quả của các chương III,IV và V.
Bây giờ trở lại với định lý 4, và cho là họ các số bằng
và thoả mãn các điều kiện (1),(2) và (3). Sau khi nhân với các bình phương của các số nguyên, có thể giả sử rằng tất các các
là các số nguyên. Gọi
là tập con của
gồm
và các uớc nguyên tố của các
;
là tập các
sao cho tồn tại
với
; hai tập này là các tập hữu hạn. Ta sét hai trường hợp
1)Ta có .
Đặt và
. Vì
nên các số nguyên
và
là nguyên tố cùng nhau, theo bổ đề 3 tồn tại số nguyên tố
sao cho
với
. Ta sẽ chứng minh rằng
có các tính chất cần tìm, nghĩa là
. Nếu
ta có
vì
, và ta phải kiểm tra rằng
. Nếu
thì điều này có từ
; nếu
là một số nguyên tố
, ta có
, do đó
với
và
với
; vì
và
là các đơn vị
adic, điều này chứng tỏ rằng
là một bình phương trong
(xem chương II mục 3.3) và ta có
. Nếu
,
là một đơn vị
adic. Vì
ta có
theo định lý 1. Nếu
,
là một đơn vị
-adic, do đó
và công thức trên chứng tỏ rằng
; mặt khác ta có
vì
. Nếu
ta có
; hơn nữa điều kiện
chứng tỏ rằng tồn tại
sao cho
; vì một trong các
bằng
(vì
), ta có
do đó
. Còn lại trường hợp
, ta quy về các trường hợp khác khi sử dụng công thức tích
. Điều này cho chứng minh đầy đủ định lý 4 trong trường hợp
.
2)Trường hợp tổng quát.
Ta biết rằng các bình phương trong lập thành một nhóm con mở của
, xem chương II mục 3.3. Theo bổ đề 2, tồn tại
sao cho
là một bình phương trong
với mỗi
. Nói riêng
. Nếu ta đặt
thì họ
thoả mãn các điều kiện
và hơn nữa
nếu
. Theo 1) ở trên tồn tại
sao cho
. Nếu ta đặt
thì dễ thấy
có các tính chất đòi hỏi.
bạn ơi bạn có cách chứng minh Bổ đề 3.(Định lý Dirichlet) không? hi
Bạn tìm trong Apostol nhé!
cảm ơn bạn nha
Bạn tìm trong Apostol nhé!? cho hỏi cái này ở đâu vậy? tìm không thấy, cũng đang quan tâm?
https://books.google.com.vn/books?id=Il64dZELHEIC&redir_esc=y