2.2. Tồn tại các số hữu tỷ với các ký hiệu Hilbert cho trước

Định lý 4.-Cho là một họ hữu hạn các phần tử trong và là họ các số bằng . Điều kiện cần và đủ để tồn tại sao cho cho vớí mỗi và mỗi là

(1)Hầu hết các số bằng .

(2)Với mỗi ta có .

(3)Với mỗi tồn tại sao cho vớí mỗi .

Tính cần của (1) và (2) suy ra từ định lí 3, tính cần của (3) là tầm thường (lấy ). Để chứng minh tính đủ của các điều kiện này ta cần ba bổ đề sau đây

Bổ đề 1.(“Định lý phần dư Trung Hoa”)-Cho là các số nguyên với các nguyên tố với nhau từng cặp. Có số nguyên sao cho với mỗi .

Cho là tích của các số . Định lý Bezout chứng tỏ rằng đồng cấu chính tắc là một đẳng cấu. Bổ đề được suy ra từ điều này.

Bổ đề 2.(“Định lý sấp xỉ”)-Cho là một tập con hữu hạn của . Ảnh của trong là trù mật trong tích này(với tô pô tích của các ).

Nếu cần thì mở rộng , giả sử rằng ở đây là các số nguyên tố phân biệt và ta phải chứng minh rằng trù mật trong . Cho là một điểm của tích này, ta sẽ chứng minh nó là một điểm tụ của . Sau khi nhân với một số nguyên ta có thể giả sử rằng với mỗi . Bây giờ ta phải chứng minh rằng với mỗi và mỗi số nguyên , có sao cho và với . Theo bổ đề 1 áp dụng với , tồn tại sao cho với mỗi . Bây giờ chọn số nguyên nguyên tố với tất cả các (ví dụ là một số nguyên tố). Các số hữu tỷ có dạng trù mật trong (điều này có đơn giản từ kết quả khi ). Chọn một số như vậy với . Số hữu tỷ có tính chất cần tìm.

Bổ đề 3.(Định lý Dirichlet)-Nếu và là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì có vô hạn các số nguyên tố sao cho .

Chứng minh sẽ cho trong chương VI; người đọc có thể kiểm tra rằng nó không dùng các kết quả của các chương III,IV và V.

Bây giờ trở lại với định lý 4, và cho là họ các số bằng và thoả mãn các điều kiện (1),(2) và (3). Sau khi nhân với các bình phương của các số nguyên, có thể giả sử rằng tất các các là các số nguyên. Gọi là tập con của gồm và các uớc nguyên tố của các ; là tập các sao cho tồn tại với ; hai tập này là các tập hữu hạn. Ta sét hai trường hợp

1)Ta có .

Đặt và . Vì nên các số nguyên và là nguyên tố cùng nhau, theo bổ đề 3 tồn tại số nguyên tố sao cho với . Ta sẽ chứng minh rằng có các tính chất cần tìm, nghĩa là . Nếu ta có vì , và ta phải kiểm tra rằng . Nếu thì điều này có từ ; nếu là một số nguyên tố , ta có , do đó với và với ;  vì và là các đơn vị adic, điều này chứng tỏ rằng là một bình phương trong (xem chương II mục 3.3) và ta có . Nếu , là một đơn vị adic. Vì ta có theo định lý 1. Nếu , là một đơn vị -adic, do đó và công thức trên chứng tỏ rằng ; mặt khác ta có vì . Nếu ta có ; hơn nữa điều kiện chứng tỏ rằng tồn tại sao cho ; vì một trong các bằng (vì ), ta có do đó . Còn lại trường hợp , ta quy về các trường hợp khác khi sử dụng công thức tích . Điều này cho chứng minh đầy đủ định lý 4 trong trường hợp .

2)Trường hợp tổng quát.

Ta biết rằng các bình phương trong lập thành một nhóm con mở của , xem chương II mục 3.3. Theo bổ đề 2, tồn tại sao cho là một bình phương trong với mỗi . Nói riêng . Nếu ta đặt thì họ thoả mãn các điều kiện và hơn nữa nếu . Theo 1) ở trên tồn tại sao cho . Nếu ta đặt thì dễ thấy có các tính chất đòi hỏi.