Một chứng minh của “Định lý cơ bản của Đại số”


Trong bài này tôi sẽ giới thiệu một chứng minh của Định lý cơ bản của Đại số, chứng minh này là sự phối hợp giữa lý thuyết nhóm và lý thuyết Galois. Giống như các chứng minh khác, nó cần một chút kiến thức về giải tích, trong trường hợp này là định lý giá trị trung gian của hàm liên tục, nó nói rằng một hàm số liên tục sẽ nhận mỗi giá trị giữa hai giá trị bất kỳ của nó. Một hệ quả của định lý giá trị trung gian là mỗi đa thức bậc lẻ với hệ số thực đều có ít nhất một nghiệm thực, hay chỉ có mở rộng bậc lẻ của trường các số thực là chính trường các số thực. Trong chứng minh chúng ta có dùng các kết quả sau đây

Bổ đề 1.-Không có mở rộng bậc 2 của \mathbb{C}.

(Đây cũng là một hệ quả của định lý cơ bản của Đại số).

Chứng minh. Ta chỉ việc chứng minh mỗi số phức a đều có căn bậc hai phức. Viết a dưới dạng luợng giác a=re^{i\varphi }, theo định lý giá trị trung gian, số thực không âm r có căn bậc hai thực, gọi nó là \sqrt{r}, khi đó số phức \sqrt{r}e^{i\varphi/2} là một căn bậc hai phức của a.

Bổ đề 2.-Cho p là một số nguyên tố, G là một p-nhóm và H là một nhóm con cực đại của G. Khi đó H là nhóm con chuẩn tắc của G[G:H]=p.

Chứng minh. Quy nạp theo số mũ của p trong |G|, như chứng minh định lý Sylow.

Gìơ ta đi chứng minh định lý cơ bản của Đại số.

Định lý.\mathbb{C} là đóng đại số.

Chứng minh. Gọi Y là một mở rộng hữu hạn của \mathbb{C} (do đó hữu hạn trên \mathbb{R}) và X là bao đóng chuẩn tắc của \mathbb{R} trong Y. Định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra X=\mathbb{C}. Thật vậy, mỗi y\in Y ta có y đại số trên \mathbb{R} và tất cả các nghuiệm của \min (y,\mathbb{R}) phải nằm trong X, và do đó trong  \mathbb{C}, hay y\in\mathbb{C}. Vì char (\mathbb{R})=0  nên X Galois trên \mathbb{R} và do đó trên \mathbb{C}. Ta có  Gal (X/\mathbb{R})=[X:\mathbb{R}]=2\cdot [X:\mathbb{C}] chia hết cho 2, gọi Z2-nhóm con Sylow của Gal (X/\mathbb{R})T là trường bất động của nó, khi đó mở rộng T/\mathbb{R} có bậc lẻ, theo nhận xét lúc đầu, T=\mathbb{R}, hay Gal (X/\mathbb{R}) là một 2-nhóm, do đó Gal (X/\mathbb{C}) cũng là 2-nhóm. Nếu X\not =\mathbb{C} thì Gal (X/\mathbb{C}) có nhóm con cực đại T, nhóm này có chỉ số hai trong Gal (X/\mathbb{C}). Gọi U là trường bất động của T khi đó U là một mở rộng bậc 2 của \mathbb{C}, vô lý.

15 thoughts on “Một chứng minh của “Định lý cơ bản của Đại số””

  1. Anh thấy Dummit Foot cũng tốt, đọc và làm càng nhiều bài tập càng tốt. Cuối cùng chuyển qua GTM của Lang để tham khảo.

  2. Em thì làm gì có ước mơ thầm gì nhỉ? Nếu có vào lúc này thì có lẽ cũng không phải về toán😀

  3. Chắc mơ có bạn gái? Anh có biết một đứa học sinh cũ của trường, tên là Hương, hiện học CNTN của KHTN HN. Chú thích thì anh giới thiệu cho.😛

  4. À, Hương em có học cùng lớp, cũng chơi khá thân đấy😀 nhưng mà chỉ bạn bè thôi. Nó hình như xin được học bổng 322, đang làm thủ tục du học ở Sing thì phải.

  5. Em vừa tìm cuốn này trên giga nhưng không có. Anh Tuân gửi vào mail cho em được không?

  6. Anh sẽ lập một mục mới tên là [E]Sách và post link trong đó. Chú sau này tham gia trên mạng đừng có post email của mình lộ như vậy, sẽ lĩnh đủ đấy!😀 Lần này anh xoá giúp chú cái địa chỉ email.

  7. Em chưa hỏi cụ thể nhưng mà nghe đứa bạn nói vậy, cũng khá tin vì hai đứa đó như hình với bóng ấy. Nhưng nếu được Hungary thì cũng tốt nếu vẫn định học toán hoặc cái gì liên quan đến toán.
    Quyển kia em down được rồi đó, hình như anh Khánh evarist cũng từng mang quyển này đến lớp đọc.
    Cái email thì lúc đầu em ko định đưa lên vì cái wordpress cho chủ blog xem mail của người gửi, nhưng cái mail đó em ít vào vì phải mở bằng Chrome nên đành post cái mail hay dùng này.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s