Định lý cộng cổ điển của Abel


Gỉa sử rằng u(P)=\int_{P_o}^Pr(x,y)dx là một tích phân Abel liên quan đến đường cong đại số C cho bởi f(x,y)=0, nghĩa là r(x,y) là một hàm hữu tỷ của x,yy là một hàm đại số của x liên quan đến đa thức phức f((x,y) là nghiệm của fy liên tục theo x), tích phân này hiểu theo nghĩa tích phân đường phức, bởi lý thuyết mặt Riemann, tích phân này xác định sai khác một chu kỳ. Bây giờ cho \theta (x,y) là một đa thức phức với hệ số là các hàm hữu tỷ của biến t=(t_1,t_2,\cdots,t_N), vậy với mỗi t đa thức này xác định một đường cong đại số D_t có bậc m, giả sử thêm là với một t=t' nào đó đường cong D_t cắt C tại mn điểm hữu hạn (n là bậc của f), trong đó các điểm khác nhau sẽ có các hoành độ khác nhau. Khi t thay đổi ta viết D_t\cdot C=\sum P(t), với P(t) là các giao điểm của hai đường cong D_tC, các toạ độ (\xi ,\eta ) của P(t) là các hàm hữu tỷ của biến t.

Định lý Abel.-Tổng Abel u(t)=\sum u(P(t))=\sum \int_{P_0}^{P(t)}r(x,y)dx có dạng u(t)=R(t)+\sum_v\log S_v(t) với R(t)S_v(t) là các hàm hữu tỷ của biến t.

(Như thế, thay vì xét một tích phân Abel đơn lẻ, Abel đã xét cả họ tích phân và đem cộng chúng lại với nhau, cuối cùng được kết quả thật đơn giản!).

Để chứng minh định lý này chúng ta cần hai bổ đề sau

Bổ đề 1.-Nếu vw là các hàm hữu tỷ của (x,y) thì tổng \sum_i'v(x,y_i(x))w(x,y_1(x))\cdots w(x,y_n(x)) cũng là hàm hữu tỷ của x. Ở đây dấu “‘” trên ký hiệu tổng nghĩa là trong hạng tử không có w(x,y_i(x)) và các y_i là hàm đại số của x liên quan đến f.

Chứng minh của bổ đề 1. Gỉa sử  các \sigma_i(x) là các đa thức đối xứng cơ bản của các y_i(x). Vì uw là các hàm hữu tỷ hai biến và mỗi đa thức đối xứng sẽ biểu diễn được qua các đa thức đối xứng cơ bản nên tổng đầu bài nằm trong \mathbb{C}(\sigma_1,\cdots,\sigma_n)\subset \mathbb{C}(x)(vì các y_i(x) là các nghiệm của f(x,y) khi x cố định).

Bổ đề 2.-Nếu \psi (x) là hàm hữu tỷ của x với hệ số là các hàm hữu tỷ của t thì \sum_{\xi }\psi (\xi ) là hàm hữu tỷ của t.

Chứng minh của bổ đề 2. Tương tự như chứng minh của bổ đề 1.

Gìơ ta quay lại việc chứng minh định lí Abel.

Chứng minh của định lí (Abel). Gọi \delta là toán tử vi phân toàn phần của một hàm biến t, khi đó ta có \delta u(t)=\sum r(\xi ,\eta )\delta \xi (1). Đặt \Theta (x)=\theta (x,y_1(x))\cdots\theta (x,y_n(x)) thì \Theta (\xi )\equiv 0 và do vậy \dfrac{\partial \Theta }{\partial x}(\xi )\delta \xi +\delta \Theta (\xi )=0, thay vào (1) ta được

\delta u=-\sum\dfrac{r(\xi ,\eta )\delta \Theta (\xi )}{\dfrac{\partial \Theta }{\partial x}(\xi )}(2).

Bây giờ có thể giả sử gần giá trị t=t'\xi=\xi' ta có \eta =y_v(\xi) với v=v' nhưng \theta (\xi ,y_v(\xi ))\not =0 với v\not =v'.

Khi đó \delta \Theta (\xi )=\sum_v\theta (\xi ,y_1(\xi ))\cdots {}^v\theta (\xi ,y_n(\xi ))\delta \theta (\xi ,y_v(\xi )). Nhớ là chỉ số hạng ứng với v=v' mới xuất hiện ta có

-r(\xi ,\eta )\delta \Theta (\xi )

=-\sum_vr(\xi ,y_v(\xi ))\theta (\xi ,y_1(\xi ))\cdots {}^v\theta (\xi ,y_n(\xi ))\delta \theta (\xi ,y_v(\xi ))=

=\sum_i\varphi _i(\xi )dt_i, ở đây

\varphi_i(x)=-\sum r(x,y_v(x))\theta (x,y_1(x))\cdots {}^v\theta (x,y_n(x))\dfrac{\partial \theta}{\partial t_i}(x,y_v(x)) là một hàm hữu tỷ của x theo bổ đề 1, kết hợp với (2) và dùng bổ đề 2 ta có \delta u là một 1-dạng hữu tỷ, định lý được chứng minh bởi các kết quả sơ cấp về tích phân các hàm hữu tỷ.