3.2. Cấu trúc của nhóm U_1


Bổ đề.-Cho x\in U_n-U_{n+1} với n\geq 1 nếu p\not =2n\geq 2 nếu p=2. Khi đó x^p\in U_{n+1}-U_{n+2}.

Theo giả thiết ta có x=1+kp^n với k\not \equiv 0\pmod{p}. Công thức nhị thức cho ta x^p=1+kp^{n+1}+\cdots+k^pp^{np}, số mũ của những số hạng không được viết ra \geq 2n+1, do đó cũng \geq n+2. Hơn nữa np\geq n+2(bao gồm luôn cả trường hợp n\geq 2 nếu p=2). Điều này chứng tỏ rằng x^p\equiv 1+kp^{n+1}\pmod{p^{n+2}}, do đó x^p\in U_{n+1}-U_{n+2}.

Mệnh đề 8.-Nếu p\not =2, U_1 đẳng cấu với \mathbb{Z}_p. Nếu p=2, U_1=\{\pm 1\}\times U_2U_2 đẳng cấu với \mathbb{Z}_2.

Xét trường hợp đầu tiên p\not =2. Chọn một phần tử \alpha \in U_1-U_2, chẳng hạn \alpha =1+p. Theo bổ đề trên ta có \alpha^{p^i}\in U_{i+1}-U_{i+2}. Cho \alpha_n là ảnh của \alpha trong U_1/U_n; ta có \alpha_n^{p^{n-2}}\not =1\alpha_n^{p^{n-1}}=1. Nhưng U_1/U_n có cấp p^{n-1} nên nó là một nhóm cyclic sinh bởi \alpha_n. Bây giờ ký hiệu \theta_{n,\alpha} là đẳng cấu z\mapsto\alpha_n^z của \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} lên U_1/U_n. Biểu đồ

u1

là giao hoán. Từ điều này ta thấy \theta_{n,\alpha} xác đinh một đẳng cấu \theta từ \mathbb{Z}_p=\varprojlim \mathbb{Z}/p^{n-1}\mathbb{Z} lên U_1=\varprojlim U_1/U_n, và mệnh đề được chứng minh với trường hợp p\not =2.

Bây giờ giả sử rằng p=2. Chọn \alpha\in U_2-U_3, nghĩa là \alpha\equiv 5\pmod{8}. Xác định như trên các đẳng cấu \theta_{n,\alpha}:\mathbb{Z}/2^{n-2}\mathbb{Z}\to U_2/U_n và một đẳng cấu \theta_{\alpha}:\mathbb{Z}_2\to U_2. Mặt khác, đồng cấu U_1\to U_1/U_2 \backsimeq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} cảm sinh một đẳng cấu từ \{\pm 1\} lên \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}. Từ điều này ta có U_1=\{\pm 1\}\times U_2.

Định lí 2.-Nhóm \mathbb{Q}_p^* đẳng cấu với \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_p\times \mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z} nếu p\not =2 và với \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} nếu p=2.

Mọi phần tử x\in\mathbb{Q}_p^* có thể viết một cách duy nhất dưới dạng x=p^nu với n\in\mathbb{Z}  và u\in U. Do đó \mathbb{Q}_p^*\backsimeq \mathbb{Z}\times U. Hơn nữa, mệnh đề 7 chứng tỏ rằng U=V\times U_1 ở đây V là nhóm cyclic cấp p-1, và cấu trúc của U_1 cho bởi mệnh đề 8.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s