3.2. Cấu trúc của nhóm U_1

Bổ đề.-Cho với nếu và nếu . Khi đó .

Theo giả thiết ta có với . Công thức nhị thức cho ta , số mũ của những số hạng không được viết ra , do đó cũng . Hơn nữa (bao gồm luôn cả trường hợp nếu ). Điều này chứng tỏ rằng , do đó .

Mệnh đề 8.-Nếu , đẳng cấu với . Nếu , và đẳng cấu với .

Xét trường hợp đầu tiên . Chọn một phần tử , chẳng hạn . Theo bổ đề trên ta có . Cho là ảnh của trong ; ta có và . Nhưng có cấp nên nó là một nhóm cyclic sinh bởi . Bây giờ ký hiệu là đẳng cấu của lên . Biểu đồ

là giao hoán. Từ điều này ta thấy xác đinh một đẳng cấu từ lên , và mệnh đề được chứng minh với trường hợp .

Bây giờ giả sử rằng . Chọn , nghĩa là . Xác định như trên các đẳng cấu và một đẳng cấu . Mặt khác, đồng cấu cảm sinh một đẳng cấu từ lên . Từ điều này ta có .

Định lí 2.-Nhóm đẳng cấu với nếu và với nếu .

Mọi phần tử có thể viết một cách duy nhất dưới dạng với   và . Do đó . Hơn nữa, mệnh đề 7 chứng tỏ rằng ở đây là nhóm cyclic cấp , và cấu trúc của cho bởi mệnh đề 8.