Bổ đề.-Cho với
nếu
và
nếu
. Khi đó
.
Theo giả thiết ta có với
. Công thức nhị thức cho ta
, số mũ của những số hạng không được viết ra
, do đó cũng
. Hơn nữa
(bao gồm luôn cả trường hợp
nếu
). Điều này chứng tỏ rằng
, do đó
.
Mệnh đề 8.-Nếu ,
đẳng cấu với
. Nếu
,
và
đẳng cấu với
.
Xét trường hợp đầu tiên . Chọn một phần tử
, chẳng hạn
. Theo bổ đề trên ta có
. Cho
là ảnh của
trong
; ta có
và
. Nhưng
có cấp
nên nó là một nhóm cyclic sinh bởi
. Bây giờ ký hiệu
là đẳng cấu
của
lên
. Biểu đồ
là giao hoán. Từ điều này ta thấy xác đinh một đẳng cấu
từ
lên
, và mệnh đề được chứng minh với trường hợp
.
Bây giờ giả sử rằng . Chọn
, nghĩa là
. Xác định như trên các đẳng cấu
và một đẳng cấu
. Mặt khác, đồng cấu
cảm sinh một đẳng cấu từ
lên
. Từ điều này ta có
.
Định lí 2.-Nhóm đẳng cấu với
nếu
và với
nếu
.
Mọi phần tử có thể viết một cách duy nhất dưới dạng
với
và
. Do đó
. Hơn nữa, mệnh đề 7 chứng tỏ rằng
ở đây
là nhóm cyclic cấp
, và cấu trúc của
cho bởi mệnh đề 8.