Định lý nâng của Cohen-Seidenberg


Hồi mình mới học Hình học đại số gặp cái định lý này có phép chứng minh hay phết. Hôm nay chép lại nó từ Red book cho vui, tất cả các vành dưới đây đều giả sử là giao hoán và có đơn vị.

Định lý. Cho R là một vành và S\subset R là vành khác sao cho R nguyên trên S. Với tất cả các ideal nguyên tố P của S, tồn tại ideal nguyên tố P' của R sao cho P'\cap S=P.


Chứng minh. Đặt M=S-P. Bởi vì P là ideal nguyên tố nên M là tập nhân tính, ta có thể quan tâm đến các địa phương hoá của R,S bởi M, ký hiệu chúng là R_M,S_M. Ta thấy là S_M là một vành con của  R_M  và R_M là nguyên trên S_M. Như thế chúng ta sẽ có biểu đồ sau

goingup1

Nhờ vào biểu đồ này ta chỉ cần chứng minh định lý cho trường hợp S là vành địa phương và P là ideal cực đại của nó. Thật vậy, S_M là vành địa phương với ideal cực đại(và do đó nguyên tố) P_M=i(P)\cdot S_MP=i^{-1}(P_M). Nếu P^* là một ideal nguyên tố của R_M sao cho P^*\cap S_M=P_M(ideal này tồn tại vì ta đang giả sử định lý đúng với vành địa phương và ideal cực đại tương ứng), khi đó j^{-1}(P^*) là một ideal nguyên tố của Rj^{-1}(P^*)\cap S=i^{-1}(P^*\cap S_M)=i^{-1}(P_M)=P.

Như vậy là lúc này ta sẽ làm việc với trường hợp S là vành địa phương và P là ideal cực đại của nó. Lúc đó A\cap S\subset P với mỗi ideal A của R, từ đây, đương nhiên ta hy vọng rằng khi A là ideal cực đại thì sẽ có dấu đẳng thức. Qủa vậy, lấy bất kỳ một ideal cực đại P' của R(ideal này tồn tại theo bổ đề Zorn), ta sẽ chứng minh P'\cap S=P, khi đó định lý được chứng minh bởi một ideal cực đại sẽ là ideal nguyên tố. Xét biểu đồ sau

goingup2

P' là cực đại nên R/P' là một trường, suy ra S/S\cap P' cũng là một trường (vì R/P' là một trường và nguyên trên nó), bởi vậy S\cap P' là một ideal cực đại của S, nó phải là PS chỉ có một ideal cực đại mà thôi. Định lý được chứng minh.

1 thought on “Định lý nâng của Cohen-Seidenberg”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s