3.1. Lọc của nhóm các đơn vị


Cho U=\mathbb{Z}_p^* là nhóm các đơn vị p-adic. Với mỗi n\geq 1, đặt U_n=1+p^n\mathbb{Z}_p; đây là nhân của đồng cấu \epsilon_n:U\to (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^*. Nói riêng, thương U/U_1 có thể đồng nhất với \mathbb{F}_p^*, do đó nó là cyclic bậc p-1(xem Chương 1, định lý 2). U_n làm thành một dãy giảm các nhóm con mở của U, và U=\varprojlim U/U_n. Nếu n\geq 1, ánh xạ 1+p^nx\mapsto x\pmod{p} xác đinh một đẳng cấu U_n/U_{n+1}\to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}; điều này có được từ công thức (1+p^nx)(1+p^ny)\equiv 1+p^n(x+y)\pmod{p^{n+1}}. Từ đây, bởi quy nạp theo n ta có U_1/U_n có bậc p^{n-1}.

Bổ đề.-Cho 0\to A\to E\to B\to 0 là một dãy khớp các nhóm giao hoán(ký hiệu theo lối cộng) với AB là hữu hạn có cấp ab nguyên tố cùng nhau. Cho B' là tập những x thuộc E sao cho bx=0. Nhóm E là tổng trực tiếp của AB'. Hơn nữa B' là nhóm con duy nhất của E đẳng cấu với B.

ab nguyên tố cùng nhau nên có các số nguyên r,s thoả mãn ar+bs=1. Nếu x\in A\cap B', thì ax=bx=0, do đó (ar+bs)x=x=0; và A\cap B'=0. Hơn nữa, mỗi x\in E có thể viết dưới dạng x=arx+bsx; vì bB'=0, ta có bE\subset A, do đó bsx\in A; mặt khác, từ abE=0 kéo theo arx\in B'. Do đó ta thấy rằng E=A\oplus B' và phép chiếu E\to B xác định một đẳng cấu từ B' lên B. Ngược lại, nếu B'' là một nhóm con của E đẳng cấu với B, ta có bB''=0 dó đó B''\subset B'B''=B' bởi vì hai nhóm này có cùng cấp.

Mệnh đề 7.-Ta có U=V\times U_1 ở đây V=\{x\in U|x^{p-1}=1\} là nhóm con duy nhất của U đẳng cấu với \mathbb{F}_p^*.

Áp dụng bổ đề với dãy khớp 1\to U_1/U_n\to U/U_n\to \mathbb{F}_p^*\to 1, có thể áp dụng được bởi vì cấp của U_1/U_n bằng p^{n-1} và cấp của \mathbb{F}_p^* bằng p-1. Từ đây, ta có U/U_n chứa một nhóm con duy nhất V_n đẳng cấu với \mathbb{F}_p^* và phép chiếu U/U_n\to U/U_{n-1} mang V_n đẳng cấu với V_{n-1} . Vì U=\varprojlim U/U_n, bởi cho qua giới hạn ta có một nhóm con V của U đẳng cấu với \mathbb{F}_p^*. Ta có U=V\times U_1; sự duy nhất của V suy ra từ sự duy nhất của V_n.

Hệ quả.-Trường \mathbb{Q}_p chứa các căn bậc p-1 của đơn vị.

Chú ý-1)Nhóm V được gọi là nhóm các biểu diễn nhân tính của các phần tử của \mathbb{F}_p^*.

2)Sự tồn tại của V cũng có thể có được khi áp dụng hệ quả 1 của định lý 1 với phương trình x^{p-1}=0.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s