Số nghiệm xạ ảnh của đa thức x^3+y^3+z^3 trong trường hữu hạn có p phần tử


Rõ ràng là không hy vọng gì đếm chính xác số lời giải của một đa tạp trên trường hữu hạn rồi, bài này tôi giới thiệu một trường hợp có thể đếm được.

Định lý. (Gauss) Cho M_p là số lời giải xạ ảnh của phương trình x^3+y^3+z^3=0 với x,y,z\in\mathbb{F}_p.

a)Nếu p\not\equiv 1\pmod{3} thì M_p=p+1;

b)Nếu p\equiv 1\pmod{3} thì có các số nguyên A,B sao cho 4p=A^2+27B^2. A,B là duy nhất sai khác dấu, và nếu ta cố định dấu của A sao cho A\equiv 1\pmod{3} thì M_p=p+1+A.

Chứng minh của định lý này dài, không dễ nhưng tuyệt hay, tôi không thể gõ cả nó lên đây được. Ai quan tâm có thể download bên dưới đây (Nó ở trong một cuốn sách của Silverman và Tate tên là Đỉêm hữu tỷ trên đường cong elliptic.)

Gauss


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s