Chuỗi tổng nghịch đảo các số nguyên tố


Bài toán.Cho p_1<p_2<\cdots là dãy tất cả các số nguyên tố. Chứng minh rằng chuỗi \sum_{i=1}^{+\infty}\dfrac{1}{p_i} là chuỗi phân kỳ.

Lời giải.

Cách chứng minh sau của Clarkson.

Giả sử ngược lại, khi đó có số k thỏa mãn \sum_{m\geq k+1}\dfrac{1}{p_m}<\dfrac{1}{2}. Đặt Q=p_1p_2\cdots p_k và xét các số 1+nQ với n=1,2,\cdots Tất cả những số này đều không có ước nguyên tố trong tập \{p_1,p_2,\cdots,p_k\}. Do vậy mà mỗi r, theo định lý cơ bản của Số học ta có \sum_{n=1}^r\dfrac{1}{1+nQ}\leq \sum_{t=1}^{+\infty}(\sum_{m\geq k+1}\dfrac{1}{p_m})^t<+\infty. Do đó chuỗi tổng nghịch đảo các số đang xét hội tụ, vô lý.

P.S. Hình như có kết quả nói là tổng đầu bài gần bằng \ln(\ln n) khi n đủ lớn.


5 thoughts on “Chuỗi tổng nghịch đảo các số nguyên tố”

  1. Đúng là có kết quả đó! Có thể chứng minh bằng cách dùng Định lí số nguyên tố. Trong Apostol còn có cả công thức gần đúng cho tổng \sum_{p\leq x}\dfrac{1}{p}. Cụ thể là Định lí 4.12.

  2. Em có được đọc một chứng minh khác cũng sơ cấp trong sách của Nathanson thì phải chứng minh dựa vào sự hội tụ của chuỗi \dfrac{1}{n^2}, à anh này muốn tìm hiểu sự phân bố của số nguyên tố trong 1 khoảng nào đó có cần biết xác suất thống kê không ?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s