2.2. Cải thiện các nghiệm gần đúng


Ta quan tâm đến việc chuyển từ một lời giải \pmod{p^n} đến một lời giải đúng(nghĩa là với hệ số trong \mathbb{Z}_p). Người ta sử dụng bổ đề sau(tương tự p-adic của “phương pháp Newton”):
Bổ đềCho f\in\mathbb{Z}_p[X]f' là đạo hàm của nó. Cho x\in\mathbb{Z}_p,n,k\in\mathbb{Z} sao cho 0\leq 2k<n,f(x)\equiv 0\pmod{p^n},v_p(f'(x))=k. Khi đó tồn tại y\in \mathbb{Z}_p sao cho f(y)\equiv 0\pmod{p^{n+1}},v_p(f'(y))=ky\equiv x\pmod{p^{n-k}}.
Lấy y có dạng x+p^{n-k}z với z\in\mathbb{Z}_p. Theo công thức Taylor ta có f(y)=f(x)+p^{n-k}zf'(x)+p^{2n-2k}a với a\in\mathbb{Z}_p. Theo giả thiết f(x)=p^nbf'(x)=p^kc với b\in\mathbb{Z}_pc\in U. Điều này cho phép ta chọn z thoả mãn b+zc\equiv 0\pmod{p}. Từ đây ta có f(y)=p^n(b+zc)+p^{2n-2k}a\equiv 0\pmod{p^{n+1}}2n-2k>n. Cuối cùng áp dụng công thức Taylor với f' ta có f'(y)\equiv p^kc\pmod{p^{n-k}}; vì n-k>n ta thấy là v_p(f'(y))=k.
Định lý 1.-Cho f\in\mathbb{Z}_p[X_1,\cdots,X_m],x=(x_i)\in \mathbb{Z}_p^m,n,k\in\mathbb{Z}j là một số nguyên sao cho 0\leq j\leq m. Gỉa sử 0<2k<nf(x)\equiv 0\pmod{p^n}v_p\left(\dfrac{\partial f}{\partial X_j}\right)(x)=k. Khi đó tồn tại một không điểm y của f trong \mathbb{Z}_p^m sao cho nó đồng dư với x modulo p^{n-k}.
Trước hết ta giả sử rằng m=1. Áp dụng bổ đề trên với x^{(0)}=x, ta có x^{(1)}\in\mathbb{Z}_p đồng dư với x^{(0)}\pmod{p^{n-k}} sao cho f(x^{(1)})\equiv 0\pmod{p^{n+1}}v_p(f'(x^{(1)}))=k. Ta có thể áp dụng bổ đề với x^{(1)} sau khi thay n bởi n+1. Theo cách này bằng quy nạp ta sẽ có dãy \{x^{(i)}\} thoả mãn x^{(q+1)}\equiv x^{(q)}\pmod{p^{n+q-k}}f(x^{(q)})\equiv 0\pmod{p^{n+q}}. Đây là một dãy Cauchy. Nếu y là giới hạn của nó ta sẽ có f(y)=0y\equiv x\pmod{p^{n-k}}, do vậy định lý đúng với m=1. Trường hợp m>1 suy ra từ trường hợp m=1, chỉ cần thay đổi x_j. Cụ thể hơn, cho g\in\mathbb{Z}_p[X_j] là đa thức một biến hình thành từ f khi thay X_i với i\not =j bởi x_i. Áp dụng điều vừa chứng minh với gx_j; tồn tại y_j\equiv x_j\pmod{p^{n-k}} sao cho g(y_j)=0. Nếu ta đặt y_i=x_i với i\not = j thì phần tử y=(y_i) thoả mãn các điều kiện đòi hỏi của định lý.
Hệ quả 1.-Mỗi không điểm đơn của phép co modulo p của một đa thức f nâng lên một không điểm của f với hệ số trong \mathbb{Z}_p.
(Nếu g là một đa thức trên trường k, một không điểm x của g được gọi là  đơn nếu ít nhất một trong các đạo hàm riêng \partial g/\partial X_j khác không tại x.)
Đây là trường hợp đặc biệt n=1,k=0.
Hệ quả 2.Gỉa sử p\not = 2. Cho f(X)=\sum a_{ij}X_iX_j với a_{ij}=a_{ji} là một dạng bậc hai có hệ số trong \mathbb{Z}_p với định thức \det (a_{ij}) khả nghịch. Cho a\in\mathbb{Z}_p. Mỗi lời giải nguyên thuỷ của phương trình f(x)\equiv a\pmod{p} nâng tới một lời giải đúng.
Quan tâm đến hệ quả 1, sẽ là đủ nếu ta chỉ ra các đạo hàm riêng của f không cùng lúc triệt tiêu modulo p. Bây giờ \dfrac{\partial f}{\partial X_i}=2\sum_ja_{ij}X_j; vì \det (a_{ij})\not\equiv 0\pmod{p}x là nguyên thuỷ, một trong các đạo hàm riêng này khác 0\pmod{p}.
Hệ quả 3.Gỉa sử p=2. Cho f=\sum a_{ij}X_iX_j với a_{ij}=a_{ji} là một dạng bậc hai với hệ số trong \mathbb{Z}_2 và cho a\in\mathbb{Z}_2. Cho x là một lời giải nguyên thuỷ của f(X)\equiv a\pmod{8}. Ta có thể nâng x thành một lời giải đúng của f nếu các đạo hàm riêng của f không cùng lúc triệt tiêu modulo 4 tại x; điều kiện cuối này sẽ thoả mãn nếu \det (a_{ij}) khả nghịch.
Mệnh đề đầu có khi áp dụng định lý với n=3,k=1; mệnh đề thứ hai có thể chứng minh như trường hợp p=2(bỏ đi nhân tử 2.)

2 thoughts on “2.2. Cải thiện các nghiệm gần đúng”

  1. Anh mang mớ này về blog của anh bày cho oai nhé! yên tâm là anh giữ bản quyền cho mày, ah mà sao em ko thay cái chữ “cải thiện” đi .. Để thế nghe buồn cười lắm!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s