2.1. Các nghiệm


Bổ đề.Cho \cdots\to D_n\to D_{n-1}\to\cdots \to D_1 là một hệ xạ ảnh, và D=\varprojlim D_i là giới hạn xạ ảnh của nó. Nếu D_n là hữu hạn và khác rỗng, thì D khác rỗng.

Kết quả D\not = \emptyset là đơn giản nếu các D_n\to D_{n-1} là toàn ánh; ta sẽ dẫn bổ đề đến trường hợp này. Để làm điều này, ký hiệu D_{n,p} là ảnh của D_{n+p} trong D_n; với n cố định (D_{n,p}) là dãy giảm các tập hữu hạn khác rỗng; do đó dãy này phải dừng, nghĩa là, dãy (D_{n,p}) không phụ thuộc p khi p đủ lớn. Gọi E_n là giá trị giới hạn của dãy này. Ta thấy ngay rằng D_n\to D_{n-1} mang E_n trùm lên E_{n-1}; vì các E_n khác rỗng nên \varprojlim E_i khác rỗng , bởi vì nhận xét lúc đầu nên ta có \varprojlim D_i khác rỗng.

Ký hiệu.-Nếu f\in\mathbb{Z}_p[X_1,\cdots,X_m] là một đa thức với hệ số trong \mathbb{Z}_p, và nếu n là một số nguyên \geq 1, ta ký hiệu f_n là đa thức có hệ số trong A_n có được từ f bởi phép co modulo p^n.

Mệnh đề 5.Cho f^{(i)}\in\mathbb{Z}_p[X_1,\cdots, X_m] là các đa thức với hệ số nguyên p-adic. Các điều sau là tương đương:

i)Các f^{(i)} có nghiệm chung trong \mathbb{Z}_p^m;

ii)Với mỗi n>1 các đa thức f_n^{(i)} có nghiệm chung trong A_n^m.

Gọi D(tương ứng D_n) là tập các nghiệm chung của các f^{(i)}(tương ứng các f_n^{(i)}). Các D_n là hữu hạn và D=\varprojlim D_n. Bởi bổ đề trên ta thấy D khác rỗng khi và chỉ khi các D_n khác rỗng. Mệnh đề được chứng minh.

Một điểm x=(x_1,\cdots, x_m)\in\mathbb{Z}_p^m được gọi là nguyên thuỷ nếu một trong các x_i là khả nghịch, nghĩa là, không phải tất cả các x_i chia hết cho p. Ta định nghĩa phần tử nguyên thuỷ của A_n^m một cách tương tự.

Mệnh đề 6.-Cho các f^{(i)}\in\mathbb{Z}_p[X_1,\cdots, X_m] là các đa thức thuần nhất với hệ số nguyên p-adic. Các điều sau là tương đương:

a)Các f^{(i)} có nghiệm chung không tầm thường trong \mathbb{Q}_p^m;

b)Các f^{(i)} có nghiệm chung nguyên thuỷ trong \mathbb{Z}_p^m;

c)Với tất cả n>1, các f_n^{(i)} có nghiệm chung nguyên thuỷ trong A_n^m.

Phép suy b)\to a) là tầm thường. Ngược lại, nếu x=(x_1,\cdots,x_m) là một nghiệm chung không tầm thường của các f^{(i)}, đặt h=\inf (v_p(x_1),\cdots,v_p(x_m))y=p^{-h}x. Dễ thấy y là một phần tử nguyên thuỷ của \mathbb{Z}_p^m, và đó là một nghiệm chung của các f^{(i)}. Do vậy b) tương đương với a). Tính tương đương của b) và c) có được từ bổ đề.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s