Tích phân elliptic


Chúng ta biết rằng để tính độ dài cung của một đường tròn ta phải dùng tích phân \int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, và tích phân này dẫn đến hàm lượng giác ngược. Điều tương tự  cũng xuất hiện với độ dài cung của elip, cụ thể là: Nếu elip có phương trình \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0), tham số hoá nó bởi x=a\cos\alpha; y=b\sin\alpha, thì độ dài cung được tính theo công thức \int \sqrt{a^2\cos^2\alpha+b^2\sin^2\alpha}\, d\alpha=\int \dfrac{a(1-k^2\sin^2\alpha)d\alpha}{\sqrt{1-k^2\sin^2\alpha}}, ở đây k^2=\dfrac{a^2-b^2}{a^2}. Khi mà đặt x=\sin\alpha thì việc tính tích phân trên quy về việc tính tích phân \int \dfrac{(1-k^2x^2)dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}(k^2\not = 1). Những tích phân có dạng này được gọi là tích phân elliptic. Không có cách tính các tích phân loại này qua các hàm sơ cấp, nhưng hàm nào đóng vai trò tương tự  như hàm lượng giác ngược ở đây? Tôi sẽ giới thiệu một cách tiếp cận điều này bằng cách sử dụng Định lý cộng của Abel, và mục “Abel’s Theorem” của Blog này dùng để nói về Định lí đó, các biến thể và áp dụng.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s