Đường cong elliptic với phép nhân phức


Với mỗi đường cong elliptic E, gọi End(E) là vành các dòng trên E. Ta thấy là phép nhân bởi số nguyên m là một dòng, trong nhiều trưòng hợp ta có End(E)=\mathbb{Z}. Đường cong elliptic E được gọi là có phép nhân phức nếu nó có ít nhất một dòng trên nó khác phép nhân bởi một số nguyên nào đó. Đưòng cong với phép nhân phức có rất giàu tính chất, chẳng hạn, những đường cong loại này đã sớm được biết là chuỗi Hecker của nó có thể thác triển trên toàn mặt phẳng phức(sau này người ta thấy một lớp khác rộng hơn sau chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat). Tôi giới thiệu ở đây nguồn gốc của cái tên phép nhân phức, bạn nào thấy không đúng cứ  phản hồi nhé!

Các điểm phức của E giống như là mặt Riemann \mathbb{C}/L với L là một lưới phức, nó đẳng cấu với nhau theo cả nghĩa giải tích và đại số. Bởi thế mà mỗi dòng phức của E sẽ tương ứng với một ánh xạ chỉnh hình từ mặt Riemann trên vào chính nó, ánh xạ này phải có dạng z\mapsto cz với c là một số phức nào đó thoả mãn cL\subset L, ngược lại nếu c thoả mãn điều kiện này thì nó sinh ra một ánh xạ chỉnh hình trên mặt Riemann tới chính nó và sẽ sinh ra một dòng phức trên E. Gìơ thì ta thấy là  khi c là số nguyên thì điều kiện cuối này sẽ thoả mãn, thêm nữa, khi số c này tương ứng với dòng khác phép nhân bởi số nguyên của E thì nó phải phức thật sự, nghĩa là số phức không phải là số thực. Do vậy mà có tên gọi trên.

Tôi lập mục này để tìm hiểu về phép nhân phức với các đa tạp Abel, đặc biệt là các đường cong elliptic. Chứng minh định lý cơ bản của phép nhân phức, tính nguyên của j-bất biến, thác triển của chuỗi Hecker, sinh các mở rộng Ablel bởi các điểm phức,…Tài liệu tham khảo sẽ là các bài viết của Serre, Silverman và Tate.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s