1.2. Các tính chất của Z_p


Cho \epsilon_n:\mathbb{Z}_p\to A_n là hàm cho mỗi số nguyên p-adic x thành phần thứ n của nó, ký hiệu bởi x_n.
Mệnh đề 1.Dãy 0\to\mathbb{Z}_p \xrightarrow{p^n}\mathbb{Z}_p\xrightarrow{\epsilon_n} A_n\to 0 là một dãy khớp các nhóm Abel.
(Do vậy ta có thể đồng nhất \mathbb{Z}_p/p^n\mathbb{Z}_p với A_n=\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}.)
Phép nhân bởi p (và do đó bởi p^n) là đơn ánh trong \mathbb{Z}_p; cụ thể, nếu x=(x_n) là một số nguyên p-adic sao cho px=0, ta có px_{n+1}=0 với mỗi n, và x_{n+1} có dạng p^ny_{n+1} với y_{n+1}\in A_{n+1}; vì x_n=\phi_{n+1}(x_{n+1}), ta thấy rằng x_n cũng chia hết cho p^n, do đó, bằng 0.
Dễ thấy rằng nhân của \epsilon_n chứa p^n\mathbb{Z}_p; ngược lại, nếu x=(x_n) thuộc vào \ker (\epsilon_n), ta có x_m\equiv 0\pmod{p^n} với mọi m\geq n, nghĩa là tồn tại một phần tử xác định tốt y_{m-n} của A_{m-n} sao cho ảnh của nó dưới đẳng cấu A_{m-n}\to p^n\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}\subset A_m thoả mãn x_m=p^ny_{m-n}. Các y_i xác định một phần tử của \mathbb{Z}_p=\varprojlim A_i, và ta có thể kiểm tra ngay lập tức rằng p^ny=x, điều đó chứng minh mệnh đề.
Mệnh đề 2.-(a) Một phần tử của \mathbb{Z}_p(tương ứng A_n) khả nghịch khi và chỉ khi nó không chia hết cho p.
(b) Nếu kí hiệu U là nhóm các phần tử khả nghịch của \mathbb{Z}_p, mỗi phần tử khác không của \mathbb{Z}_p có thể viết duy nhất ở dạng p^nu với u\in Un\geq 0.

(Một phần tử của U được gọi là một đơn vị p-adic).
Để chứng minh (a) ta chỉ cần chứng minh với trường hợp A_n khi đó trường hợp \mathbb{Z}_p sẽ là một hệ quả. Bây giờ nếu x\in A_n không thuộc pA_n, ảnh của nó trong A_1=\mathbb{F}_p khác không và do đó khả nghịch: Vậy nên có y,z\in A_n sao cho xy=1-pz, do đó xy(1+pz+\cdots+p^{n-1}z^{n-1})=1, điều này chứng minh x khả nghịch.
Mặt khác, nếu x khác không và thuộc \mathbb{Z}_p, thì có số nguyên n lớn nhất sao cho x_n=\epsilon_n(x) bằng không; khi đó x=p^nu với u không chia hết cho p, do đó u\in U do (a). Tính duy nhất của phân tích là đơn giản.
Kí hiệu.-Cho x là một phần tử khác không của \mathbb{Z}_p; viết x dưới dạng p^nu với u\in U. Số nguyên n được gọi là giá trị p-adic của x và được kí hiệu là v_p(x). Ta đặt v_p(0)=+\infty, và có v_p(xy)=v_p(x)+v_p(y),v_p(x+y)\geq \inf (v_p(x),v_p(y)). Dễ suy ra từ các công thức này rằng \mathbb{Z}_p là một miền nguyên.
Mệnh đề 3Tô pô trên \mathbb{Z}_p có thể xác định bởi khoảng cách d(x,y)=e^{-v_p(x-y)}. Vành \mathbb{Z}_p là không gian mê tríc đủ trong đó \mathbb{Z} trù mật.
Các ideal p^n\mathbb{Z}_p lập thành một cơ sở các lân cận của 0; vì x\in p^n\mathbb{Z}_p tương đương với v_p(x)\geq n, tô pô trên \mathbb{Z}_p xác định bởi khoảng cách d(x,y)=e^{-v_p(x-y)}. Vì \mathbb{Z}_p là com pắc, nó là đủ. Cuối cùng, nếu x=(x_n) là một phần tử của \mathbb{Z}_p, và nếu y_n\in\mathbb{Z} sao cho y_n\equiv x_n\pmod{p^n}, thì \lim y_n=x, điều này chứng minh \mathbb{Z} trù mật trong \mathbb{Z}_p.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s