3.2. Ký hiệu Legendre (trường hợp sơ cấp)


Định nghĩa.-Cho p là một số nguyên tố khác 2, và cho x\in\mathbb{F}_p^*. Kí hiệu Legendre của x, kí hiệu bởi \left(\dfrac{x}{p}\right), là số nguyên x^{(p-1)/2}=\pm 1.
Quy ước mở rộng \left(\dfrac{x}{p}\right) tới toàn \mathbb{F}_p bởi \left(\dfrac{0}{p}\right)=0. Hơn nữa, nếu x\in\mathbb{Z} có ảnh x'\in\mathbb{F}_p, ta viết \left(\dfrac{x'}{p}\right)=\left(\dfrac{x}{p}\right).

Ta có \left(\dfrac{x}{p}\right)\left(\dfrac{y}{p}\right)=\left(\dfrac{xy}{p}\right): Kí hiệu Legendre là một “đặc trưng” (Xem 6.1). Như đã thấy trong định lí 4, \left(\dfrac{x}{p}\right)=1 tương đương với x\in\mathbb{F}_q^{*2}; nếu x\in\mathbb{F}_q^*y như một căn bậc hai trong một bao đóng đại số của \mathbb{F}_p, thì \left(\dfrac{x}{p}\right)=y^{p-1}.

Tính \left(\dfrac{x}{p}\right) với x=1,-1,2:

Nếu n là một số nguyên lẻ, cho \epsilon (n)\omega (n) là các phần tử của \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} xác định bởi:
\epsilon (n)\equiv\dfrac{n-1}{2}\pmod{2}=0 nếu n\equiv 1\pmod{4}=1 nếu n\equiv -1\pmod{4}.
\omega (n)\equiv\dfrac{n^2-1}{8}\pmod{2}=0 nếu n\equiv \pm 1\pmod{8}=1 nếu n\equiv \pm 5\pmod{8}.
(Hàm \epsilon là một đồng cấu của nhóm nhân (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^* lên nhóm \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}; tương tự, hàm \omega là một đồng cấu của nhóm nhân (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^* lên nhóm \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.)

Định lí 5.Các công thức sau đây thoả mãn:
i)\left(\dfrac{1}{p}\right)=1
ii)\left(\dfrac{-1}{p}\right)=(-1)^{\epsilon (p)}
iii)\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\omega (p)}.

Chỉ công thức cuối cần một chứng minh. Nếu \alpha ký hiệu căn bậc 8 của đơn vị trong một bao đóng đại số \Omega của \mathbb{F}_p, phần tử y=\alpha+\alpha^{-1} thoả mãn y^2=2 (từ \alpha^4=-1 ta có \alpha^2+\alpha^{-2}=0). Ta có y^p=\alpha^p+\alpha^{-p}.
Nếu p\equiv\pm 1\pmod{8} thì y^p=y, do đó \left(\dfrac{2}{p}\right)=y^{p-1}=1. Nếu p\equiv\pm 5\pmod{8} thì y^p=\alpha^5+\alpha^{-5}=-(\alpha+\alpha^{-1})=-y. (Điều này lại có từ \alpha^4=-1) Do đó y^{p-1}=-1 và ta có iii).

Chú ý. Định lí 5 có thể phát biểu theo cách sau:
-1 là bình phương \pmod{p} nếu và chỉ nếu p\equiv 1\pmod{4}.
2 là bình phương \pmod{p} nếu và chỉ nếu p\equiv \pm 1\pmod{8}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s