3.1. Các bình phương trong $\mathbb{F}_q$


Cho q là luỹ thừa của một số nguyên tố p.

Định lí 4.–(a)Nếu p=2 thì tất cả các phần tử của \mathbb{F}_q là các bình phương.
-(b)Nếu p\not =2 thì các bình phương của \mathbb{F}_q^* lập thành một nhóm con có chỉ số 2 của \mathbb{F}_q^*; nhóm con này là nhân của đồng cấu x\mapsto x^{(q-1)/2} với giá trị trong \{\pm 1\}. (Nói cách khác, ta có một dãy khớp 1\longrightarrow \mathbb{F}_q^{*2}\longrightarrow \mathbb{F}_q^*\longrightarrow \{\pm 1\}\longrightarrow 1).

Trường hợp a) có được từ kết quả x\mapsto x^2 là một tự đẳng cấu của \mathbb{F}_q.
Với trường hợp b), gọi \Omega là một bao đóng đại số của \mathbb{F}_q; nếu x\in\mathbb{F}_q^*, lấy y\in \Omega sao cho y^2=x. Ta có y^{q-1}=x^{(q-1)/2}=\pm 1x^{q-1}=1. Để x là bình phương trong \mathbb{F}_q điều kiện cần và đủ là y nằm trong \mathbb{F}_q^*, nghĩa là y^{q-1}=1. Do đó \mathbb{F}_q^{*2} là  nhân của ánh xạ x\mapsto x^{(q-1)/2}. Hơn nữa, vì \mathbb{F}_q^* là cyclic bậc q-1 nên chỉ số của \mathbb{F}_q^{*2} bằng 2.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s