3.2. Ký hiệu Legendre (trường hợp sơ cấp)


Định nghĩa.-Cho p là một số nguyên tố khác 2, và cho x\in\mathbb{F}_p^*. Kí hiệu Legendre của x, kí hiệu bởi \left(\dfrac{x}{p}\right), là số nguyên x^{(p-1)/2}=\pm 1.
Quy ước mở rộng \left(\dfrac{x}{p}\right) tới toàn \mathbb{F}_p bởi \left(\dfrac{0}{p}\right)=0. Hơn nữa, nếu x\in\mathbb{Z} có ảnh x'\in\mathbb{F}_p, ta viết \left(\dfrac{x'}{p}\right)=\left(\dfrac{x}{p}\right).

Ta có \left(\dfrac{x}{p}\right)\left(\dfrac{y}{p}\right)=\left(\dfrac{xy}{p}\right): Kí hiệu Legendre là một “đặc trưng” (Xem 6.1). Như đã thấy trong định lí 4, \left(\dfrac{x}{p}\right)=1 tương đương với x\in\mathbb{F}_q^{*2}; nếu x\in\mathbb{F}_q^*y như một căn bậc hai trong một bao đóng đại số của \mathbb{F}_p, thì \left(\dfrac{x}{p}\right)=y^{p-1}.

Tính \left(\dfrac{x}{p}\right) với x=1,-1,2:

Nếu n là một số nguyên lẻ, cho \epsilon (n)\omega (n) là các phần tử của \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} xác định bởi:
\epsilon (n)\equiv\dfrac{n-1}{2}\pmod{2}=0 nếu n\equiv 1\pmod{4}=1 nếu n\equiv -1\pmod{4}.
\omega (n)\equiv\dfrac{n^2-1}{8}\pmod{2}=0 nếu n\equiv \pm 1\pmod{8}=1 nếu n\equiv \pm 5\pmod{8}.
(Hàm \epsilon là một đồng cấu của nhóm nhân (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^* lên nhóm \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}; tương tự, hàm \omega là một đồng cấu của nhóm nhân (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^* lên nhóm \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.)

Định lí 5.Các công thức sau đây thoả mãn:
i)\left(\dfrac{1}{p}\right)=1
ii)\left(\dfrac{-1}{p}\right)=(-1)^{\epsilon (p)}
iii)\left(\dfrac{2}{p}\right)=(-1)^{\omega (p)}.

Chỉ công thức cuối cần một chứng minh. Nếu \alpha ký hiệu căn bậc 8 của đơn vị trong một bao đóng đại số \Omega của \mathbb{F}_p, phần tử y=\alpha+\alpha^{-1} thoả mãn y^2=2 (từ \alpha^4=-1 ta có \alpha^2+\alpha^{-2}=0). Ta có y^p=\alpha^p+\alpha^{-p}.
Nếu p\equiv\pm 1\pmod{8} thì y^p=y, do đó \left(\dfrac{2}{p}\right)=y^{p-1}=1. Nếu p\equiv\pm 5\pmod{8} thì y^p=\alpha^5+\alpha^{-5}=-(\alpha+\alpha^{-1})=-y. (Điều này lại có từ \alpha^4=-1) Do đó y^{p-1}=-1 và ta có iii).

Chú ý. Định lí 5 có thể phát biểu theo cách sau:
-1 là bình phương \pmod{p} nếu và chỉ nếu p\equiv 1\pmod{4}.
2 là bình phương \pmod{p} nếu và chỉ nếu p\equiv \pm 1\pmod{8}.

3.1. Các bình phương trong $\mathbb{F}_q$


Cho q là luỹ thừa của một số nguyên tố p.

Định lí 4.–(a)Nếu p=2 thì tất cả các phần tử của \mathbb{F}_q là các bình phương.
-(b)Nếu p\not =2 thì các bình phương của \mathbb{F}_q^* lập thành một nhóm con có chỉ số 2 của \mathbb{F}_q^*; nhóm con này là nhân của đồng cấu x\mapsto x^{(q-1)/2} với giá trị trong \{\pm 1\}. (Nói cách khác, ta có một dãy khớp 1\longrightarrow \mathbb{F}_q^{*2}\longrightarrow \mathbb{F}_q^*\longrightarrow \{\pm 1\}\longrightarrow 1).

Trường hợp a) có được từ kết quả x\mapsto x^2 là một tự đẳng cấu của \mathbb{F}_q.
Với trường hợp b), gọi \Omega là một bao đóng đại số của \mathbb{F}_q; nếu x\in\mathbb{F}_q^*, lấy y\in \Omega sao cho y^2=x. Ta có y^{q-1}=x^{(q-1)/2}=\pm 1x^{q-1}=1. Để x là bình phương trong \mathbb{F}_q điều kiện cần và đủ là y nằm trong \mathbb{F}_q^*, nghĩa là y^{q-1}=1. Do đó \mathbb{F}_q^{*2} là  nhân của ánh xạ x\mapsto x^{(q-1)/2}. Hơn nữa, vì \mathbb{F}_q^* là cyclic bậc q-1 nên chỉ số của \mathbb{F}_q^{*2} bằng 2.