IMO 2009


Danh sách các bạn thuộc đội tuyển năm nay

1.Hà Khương Duy, lớp 12A1 Toán,Khối THPT chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội.

2.Nguyễn Xuân Cương, lớp 12 Toán 1,THPT chuyên Nguyễn Trãi,Hải Dương.

3.Nguyễn Hoàng Hải, lớp 12A1 ,THPT chuyên Vĩnh Phúc,Vĩnh Phúc.

4.Phạm Đức Hùng, lớp 11 Toán,THPT NK Trần Phú,Hải Phòng.

5.Phạm Hy Hiếu, lớp 11 Toán,PT NK ĐHKHTN-ĐHQG TP Hồ Chí Minh.

6.Tạ Đức Thành, lớp 11 Toán,THPT CHV,Phú Thọ

Các bài toán của ngày thứ  nhất:

Bài 1. Cho n là một số nguyên dương và a_1,\cdots, a_kk>1 số nguyên đôi một khác nhau trong \{1,2,\cdots, n\} sao cho n|a_i(a_{i+1}-1) với i=1,2,\cdots, k-1. Chứng minh rằng n không chia hết a_k(a_1-1).

Bài 2. Cho ABC là một tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp O.  Các điểm P,Q nằm trên các cạnh CA, AB tương ứng. Gọi K,L,M lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BP,CQ,PQ. Chứng minh rằng nếu PQ là tiếp tuyến của đường tròn (KLM) thì OP=OQ.

Bài 3.  Gỉa sử (s_i) là dãy tăng ngặt các số nguyên dương sao cho các dãy con (s_{s_i})(s_{s_i+1}) là các cấp số cộng. Chứng minh rằng dãy số đã cho cũng là một cấp số cộng.

Đề ngày 2 sẽ có trong comment dưới đây.

8 thoughts on “IMO 2009”

  1. Đây là các bài toán của ngày thứ hai:

    Bài 4. Cho ABC là một tam giác cân tại A. AD,BE là các phân giác trong của nó. Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ADC. Biết \angle{BEK}=45^0, tính \angle{CAB}.

    Bài 5. Xác định tất cả các hàm f:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^* sao cho với mỗi hai số nguyên dương a,b, tồn tại tam giác không suy biến có độ dài ba cạnh bằng a,f(b),f(b+f(a)-1).

    Bài 6. Cho a_1,a_2,\cdots,a_n là các số nguyên dương đôi một khác nhau và M là một tập gồm n-1 số nguyên dương không chứa s=a_1+a_2+\cdots+a_n. Một con cào cào phải nhảy dọc theo trục thực, bắt đầu từ điểm 0, nó sẽ nhảy sang bên phải n lần với độ dài n bước này bằng a_1,a_2,\cdots,a_n theo một thứ tự nào đó. Chứng minh rằng có thể chọn thứ tự của các bước nhảy để sao cho tại mỗi thời điểm con cào cào này không đứng trên một phần tử của M.

  2. Kết quả

    Hà Khương Duy: 7 7 7 7 7 4 =39
    Phạm Đức Hùng 7 7 7 7 5 0 =33
    Phạm Hy Hiếu:7 7 1 7 7 0 =29
    Nguyễn Hoàng Hải: 7 3 1 7 7 0 =25
    Tạ Đức Thành: 2 7 0 6 4 0 =19
    Nguyễn Xuân Cương: 6 0 3 7 0 0 =16

  3. USA
    John Berman: 7-7-7-7-7-0:35
    Wenyu Cao: 7-7-1-3-7-0:25
    Eric Larson: 7-7-3-7-7-3:34
    Delong Meng: 7-7-1-7-7-0:29
    Evan O’Dorney: 7-7-7-2-7-0:30
    Qinxuan Pan: 7-7-1-7-7-0:29

  4. Thảo luận về các bài toán trên bằng tiếng Anh tại các link sau:

    Bài 1: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1561571#1561571

    Bài 2: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1561572#1561572

    Bài 3: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1561573#1561573

    Bài 4: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1562847#p1562847

    Bài 5: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1562848#1562848

    Bài 6: http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=1562840#1562840

    Nếu các bạn muốn thảo luận bằng tiếng Việt thì post ngay trong topic này cũng được.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s