2.2. Định lý Chevalley


Định lý 3 (Chevalley-Warning).-Cho f_{\alpha}\in K[X_1,\cdots,X_n] là các đa thức n biến sao cho \sum \deg f_{\alpha}<n, và cho V là tập các nghiệm chung của chúng trong K^n. Khi đó \text{Card}(V)\equiv 0\pmod{p}.

Đặt P=\prod_{\alpha} (1-f_{\alpha}^{q-1}) và cho x\in K^n. Nếu x\in V, tất cả f_{\alpha}(x) bằng 0P(x)=1; nếu x\not\in V, một trong các f_{\alpha}(x) khác 0f_{\alpha}^{q-1}(x)=1, do đó P(x)=0. Do đó Phàm đặc trưng của V. Nếu với mỗi đa thức f chúng ta đặt S(f)=\sum_{x\in K^n}f(x), thì \text{Card}(V)\equiv S(P)\pmod{p}. Vậy chúng ta quy về việc chứng minh S(P)=0.

Gỉa thiết \sum_{\alpha}\deg f_{\alpha}<n cho ta \deg P<n(q-1); vậy P là một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức X^u=X_1^{u_1}\cdots X_n^{u_n} với \sum u_i<n(q-1). Sẽ là đủ nếu ta chứng minh được rằng với mỗi đơn thức X^u như vậy ta có S(X^u)=0, điều này có được từ bổ đề vì ít nhất một trong các u_i phải nhỏ hơn q-1.

Hệ quả 1.Nếu \sum_{\alpha}\deg f_{\alpha}<n và nếu các f_{\alpha} không có từ hằng, thì các f_{\alpha} có nghiệm chung khác 0.

Thật vậy, nếu V=\{0\} thì \text{Card}(V) không thể chia hết cho p.

Hệ quả 1 có áp dụng đáng chú ý khi các f_{\alpha} là các đa thức thuần nhất. Nói riêng:

Hệ quả 2.Tất cả dạng bậc hai trong ít nhất 3 biến trên K có nghiệm không tầm thường.

(Theo ngôn ngữ hình học: Mỗi conic trên trường hữu hạn có ít nhất một điểm hữu tỷ).

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s