2.1. Tổng các luỹ thừa


Cho q là luỹ thừa của một số nguyên tố p, và K là một trường có q phần tử.

Bổ đề. Cho u là một số nguyên không âm. Tổng S(X^u)=\sum_{x\in K}x^u bằng -1 nếu u\geq 1 và chia hết cho q-1; nó bằng 0 trong các trường hợp còn lại.

(Chúng ta quy ước là x^u=1 nếu u=0 ngay cả khi x=0).

Nếu u=0, tất cả số hạng của tổng bằng 1; do đó S(X^u)=q\cdot 1=0 bởi vì K là trường có đặc số p.

Nếu u\geq 1 và chia hết cho q-1, chúng ta có 0^u=0x^u=1 nếu x\not =0. Do đó S(X^u)=(q-1)\cdot 1=-1.

Cuối cùng, nếu u\geq 1 và không chia hết cho q-1, sự kiện K^* là nhóm cyclic có bậc q-1(Định lí 2) chứng tỏ rằng tồn tại y\in K^* sao cho y^u\not =1. Ta có S(X^u)=\sum_{x\in K^*}x^u=\sum_{x\in K^*}y^ux^u=y^uS(X^u)(1-y^u)S(X^u)=0 từ đây ta có S(X^u)=0.

(Biến thể -Sử dụng sự kiện nếu d>1 nguyên tố với p thì tổng các căn bậc d của đơn vị bằng 0).

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s