1.2. Nhóm nhân của một trường hữu hạn


Cho p là một số nguyên tố, f là một số nguyên dương và q=p^f.

Định lí 2. Nhóm nhân \mathbb{F}_q^* của một trường hữu hạn \mathbb{F}_q là cyclic có bậc q-1.

Chứng minh. Nếu d là một số nguyên dương, nhắc lại rằng \phi (d) kí hiệu \phi-hàm Euler, nghĩa là số các số nguyên dương x\leq d mà nguyên tố cùng nhau với d (hay ảnh của nó trong \mathbb{Z}/d\mathbb{Z} là một phần tử sinh của nhóm cyclic này). Dễ thấy rằng số phần tử sinh của nhóm cyclic cấp d bằng \phi (d).

Bổ đề 1.Nếu n là một số nguyên dương thì n=\sum_{d|n}\phi (d). (Nhắc lại rằng ký hiệu d|n nghĩa là d là một ước của n).

Nếu d là một ước của n, gọi C_d là nhóm con duy nhất của \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} có bậc d\Phi_d là tập các phần tử sinh của C_d. Vì mỗi phần tử của \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} sinh ra một trong các nhóm C_d nên \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} là hợp rời rạc của các \Phi_d và chúng ta có n=\text{Card}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=\sum_{d|n}\text{Card}(\Phi_d)=\sum_{d|n}\phi (d).

Bổ đề 2.-Cho H là một nhóm hữu hạn bậc n. Gỉa sử rằng với mỗi ước d của n, tập các x của H sao cho x^d=1 có nhiều nhất d phần tử. Khi đó H là một nhóm cyclic.

Cho d là một ước của n. Nếu tồn tại x của H có bậc d, nhóm con <x> : =\{1,x,\cdots,x^{d-1}\} sinh bởi x là nhóm cyclic bậc d; từ giả thiết ta có tất cả các phần tử y của Hy^d=1 sẽ nằm trong <x>. Nói riêng, tất cả phần tử có bậc d đều là phần tử sinh của <x> và số các phần tử này bằng \phi (d). Như vậy, số các phần tử của H có bậc d0 hoặc \phi (d). Nếu nó bằng 0 với một giá trị d thì đẳng thức n=\sum_{d|n}\phi (d) chứng tỏ số phần tử của H nhỏ hơn n, vô lí! Nói riêng, có phần tử x của H có bậc nH=<x> là một nhóm cyclic.

Định lí 2 được suy ra từ Bổ đề 2 khi ta áp dụng nó với H=\mathbb{F}_q^*n=q-1; dễ thấy rằng phương trình x^d=1 có bậc d, có nhiều nhất d nghiệm trong \mathbb{F}_q.

Chú ý. Chứng minh trên chứng tỏ tổng quát hơn rằng, tất cả các nhóm con hữu hạn của nhóm nhân của một trường là cyclic.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s