Bài giảng thứ nhất về Lý thuyết số


Ta đã biết bốn phép toán trên hai số nguyên, đó là cộng, trừ, nhân và chia. Ba phép toán đầu tác động lên hai số nguyên sẽ cho một số nguyên nhưng phép toán thứ tư thì không như thế. Với một số nguyên m và một số nguyên khác không n ta nói m chia hết cho n (m là bội của n, n là ước của m) nếu có số nguyên p sao cho m=np, khi sự kiện này xảy ra ta sẽ viết n|m hoặc m\, \d{:} \, n. Thật không may, kí hiệu sau mặc dù được dùng thông dụng trong các sách giáo khoa Số học tại Việt Nam nhưng tôi không thể gõ được nó khi dùng \LaTeX . Bởi thế mà từ giờ cho đến cuối tôi sẽ dùng kí hiệu thứ nhất, các bạn học sinh khi làm bài thi chỉ được dùng ký hiệu thứ hai, thật quá rắc rối!

Định lý 1. Cho các số nguyên x,y,z. Khi đó ta có các tính chất sau

a)x|x;

b)Nếu x|yy|z thì x|z;

c)Nếu x|yy\not =0 thì |x|\leq |y|;

d)Nếu x|yx|z thì x|my+nz\forall m,n\in\mathbb{Z};

e)Nếu x|yx|y\pm z thì x|z;

f)Nếu x|yy|x thì |x|=|y|.

Định lý 2. Với mỗi số nguyên dương ab tồn tại duy nhất cặp (q,r) các số nguyên không âm sao cho a=bq+rr<b. Ta nói r là dư, q là thương trong phép chia a cho b.

Ví dụ. Tìm q,r nếu

a)a=b=3;

b)a=78,b=9;

c)a=9,b=78.

Với các số nguyên ta có kết quả sau

Định lý 3. Với các số nguyên a,bb\not = 0, tồn tại duy nhất cặp (q,r) các số nguyên sao cho a=bq+r0\leq r<|b|.

Ví dụ. Tìm q,r nếu a=-98,b=-7.

Hệ quả 1. Mỗi số nguyên đều có thể viết được dưới dạng 2k+1 hoặc 2k, với k là một số nguyên nào đó.

Hệ quả 2. Mỗi số nguyên đều có thể viết được dưới dạng 3k,3k+1 hoặc 3k+2 với k là số nguyên nào đó.

\clubsuit Bạn có thể đưa ra một kết quả tương tự?

Số nguyên p>1 được gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ có hai ước dương là 1p. Vài số nguyên tố đầu tiên là 2,3,5,7,11,13.

\bigstar Hãy viết ra 12 số nguyên tố đầu tiên.

Số nguyên n>1 được gọi là một hợp số nếu nó không phải là một số nguyên tố, số 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải là hợp số, hãy lưu ý điều này.

Bài 1. Cho số nguyên n>1. Chứng minh rằng ước dương khác 1 bé nhất của n phải là số nguyên tố. Từ đó suy ra rằng mọi số nguyên lớn hơn 1 sẽ có ít nhất một ước nguyên tố và có vô số các số nguyên tố.

Bài 2. Nếu n là hợp số thì nó có ít nhất một ước nguyên tố không lớn hơn \sqrt{n}.

Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên tố chẵn.

Bài 4. Tìm các số nguyên dương n để tất cả các số 3n-4,4n-55n-3 là nguyên tố.

Bài 5. Nếu p,q là các số nguyên tố sao cho phương trình x^2-px+q=0 có hai nghiệm nguyên dương phân biệt, hãy tìm p,q.

Bài 6. Hãy viết ra 2009 số nguyên dương liên tiếp mà chúng đều là hợp số cả.

Định lý 4 (Định lý cơ bản của số học). Mỗi số nguyên lớn hơn 1 đều có thể viết một cách duy nhất (không kể thứ tự) thành tích của các số nguyên tố.

Ví dụ. Tìm số các uớc dương của 24,120600. Viết ra công thức cho số ước dương của một số nguyên dương n bất kỳ.

Hệ quả 1. Nếu p là một số nguyên tố, ab là các số nguyên sao cho p|ab thì p|a hoặc p|b.

Trước khi đến với một hệ quả rất quan trọng chúng ta cần khái niệm ước chung lớn nhất: Cho hai số nguyên không đồng thời bằng 0. Ước chung lớn nhất của hai số này là một số nguyên dương, ký hiệu là (a,b), là ước của cả hai số đó và là số lớn nhất có tính chất này. Nếu (a,b)=1 ta nói hai số ab là nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ. Tìm (-16,24).

Hệ quả 2.

a)Nếu a|bc(a,b)=1 thì a|c;

b)Nếu a|c, b|c(a,b)=1 thì ab|c.

Hệ quả b) được dùng rất nhiều trong các bài toán chứng minh quan hệ chia hết. Chẳng hạn, để chứng minh 120|c trước tiên ta phân tích 120 ra thành tích của các số a_i đôi một nguyên tố cùng nhau, sau đó chứng minh c chia hết cho tất cả các nhân tử này. Thường thì ta phân tích luôn số đó ra thừa số nguyên tố vì làm việc với các số nguyên tố nhìn chung là dễ chịu hơn nhiều (trong các bài toán chia hết).

4 thoughts on “Bài giảng thứ nhất về Lý thuyết số”

  1. Chào anh Tuấn (em sinh 1986)

    Em vừa thi xong GRE hôm 24/10/2009, đang nghỉ ngơi. Tình cờ ghé qua blog của anh và thử làm một vài bài toán cho học sinh THCS. Em đã làm được bài 1, bài 2 còn bài 3 thì mất hơn 1 tiếng mà không ra.
    Rất mong anh giải giúp em bài 3:

    Bài 3: Tìm các số nguyên dương n để tất cả các số 3n-4, 4n-5 và 5n-3 là nguyên tố.

    Trong quá trình làm bài 3, dù chưa ra nhưng em thấy phát sinh ra 2 bài toán sau nhưng cũng chưa giải được nốt:

    1. Tìm n để 3n-4 là số nguyên tố
    2. (Tổng quát của bài trên) Cho p, r là 2 số nguyên tố cùng nhau. Tìm k nguyên để n=pk + r là số nguyên tố.

    Lúc đầu nghĩ làm mấy bài toán này sẽ vui vẻ. Nhưng giờ không giải được bài 3 thấy cay cú quá, rất muốn nhìn thấy đáp án xem cái bài toán này thực chất là cái gì mà mãi không giải được.
    Vì thế tha thiết mong anh giải giúp em bài 3 và nếu có thể cả 2 bài toán em đưa ra nữa.

    Cám ơn anh rất nhiều.

  2. Anh quên không nói: Bài này trước anh dạy ôn vào 10 cho mấy học sinh, giờ thấy chú hỏi nên anh giải lại thử. Kết quả là mất 4 tiếng.😛

  3. A ơi em nhờ anh giải hộ em bài toán nay nha! “Cho p và q là hai số nguyên tố lớn hơn 3 chứng minh rằng
    (p2 – q2) ⋮ 24 ” em cám ơn anh rất nhiều nha!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s