Một số bài toán về phương trình bậc hai


Để làm được các bài toán ở đây các học sinh cần chắc các kiến thức về phương trình bậc hai (công thức nghiệm, định lý Viét, phương trình trùng phương,…) và cách giải bài toán xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và parabol.

Bài 1.  Cho phương trình x^2+(2m-1)x-m-3=0. (*)

a)Tìm các giá trị m để (*) có các nghiệm x_1,x_2 thỏa mãn x_2-x_1=7;

b)Tìm các giá trị của m để biểu thức P=(x_1-x_2)^2 có giá trị nhỏ nhất. Ở đây x_1,x_2 là các nghiệm của (*);

c)Viết một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc m.

Bài 2.  Cho phương trình x^2-2mx-m=0(1). Trong đó m<-1 là tham số.

a)Chứng minh rằng (1) có hai nghiệm x_1,x_2.

b)Chứng minh rằng x_1^2+2mx_2-m>0.

c)Xác định giá trị của m để  biểu thức A=\dfrac{1}{x_1^2+2mx_2+11(m+1)}+\dfrac{1}{x_2^2+2mx_1+11(m+1)} có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 3.  Tìm các giá trị a\in\mathbb{Z} sao cho phương trình 5x^2-(2a-5)x+a^2+1=0 có nghiệm nguyên.

Bài 4.  Cho parabol (P) có phưong trình y=\dfrac{1}{4}x^2 và đường thẳng (d) có phương trình y=\dfrac{1}{2}x+2.

a)Chứng minh rằng (P)(d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt AB. Vẽ đường thẳng  và parabol trên cùng một hệ trục toạ độ.

b)Xác định toạ độ của M thuộc cung AB của (P) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.

Bài 5.  Cho phương trình (2m+3)x^2+2(m+1)x-1=0(1)

a)Tìm m để (1) có nghiệm dương nhỏ hơn 1;

b)Tìm m để (1) có hai nghiệm x_1,x_2 thoả mãn |x_1^2-x_2^2|=1.

Bài 6.  Cho parabol (P) có phương trình y=x^2 và đường thẳng (d) có phương trình mx-y=-1. Chứng minh rằng

a)Khi m thay đổi thì (d) luôn đi qua một điểm cố định M và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B;

b)Tam giác OAB vuông;

c)|x_A-x_B|\geq 2.

Bài 7.  Cho phương trình mx^2+2(m-2)x+m-3=0. (1)

a)Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu;

b)Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn;

c)Gọi x_1,x_2 là các nghiệm của (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của x_1^2+x_2^2.

Bài 8.  Cho a,b là các nghiệm của x^2+x-1=0. Chứng minh rằng a+b+a^3+b^3a^2+b^2+a^4+b^4 là các số nguyên chia hết cho 5.

Bài 9.  Cho phương trình x^4-2(m+1)x^2+2m+1=0. (1)

a)Giải phương trình (1) khi m=12;

b)Tìm m để (1) có bốn nghiệm phân biệt sao cho khi biểu diễn bốn nghiệm đó trên trục số ta được ba đoạn liên tiếp bằng nhau.

Bài 10.  Giải phương trình (x^2-3x+3)(x^2-2x+3)=2x^2.

Bài 11.  Cho phương trình (m^2+1)x^2+2(m^2+1)x-m=0(1), với m là tham số. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x_1^2+x_2^2, với x_1,x_2 là các nghiệm của (1).

Bài 12.  Cho phương trình (m+3)x^2-2(m^2+3m)x+m^3+12=0. (1)

a)Tìm số nguyên m bé nhất sao cho (1) có hai nghiệm phân biệt;

b)Gọi x_1,x_2 là các nghiệm của phương trình (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho x_1^2+x_2^2 là số nguyên.

Bài 13.  Cho phương trình (x+1)^4-(m-1)(x+1)^2-m^2+m-1=0 (1).

a)Giải phương trình với m=-1;

b)Chứng minh rằng (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m;

c)Gọi hai nghiệm của (1) là x_1,x_2. Tìm m để |x_1|+|x_2|=2.

Bài 14.  Cho parabol (P):y=x^2 và đường thẳng (d):y=mx+1.

a)Chứng minh rằng (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m;

b)Gọi A,B là các giao điểm nói trên. Tìm m để (y_A-1)(y_B-2) lớn nhất.

Bài 15.  Cho phương trình x^2+bx+c=0 với b,c là các tham số thoả mãn b+c=4. Tìm b,c để phương trình có các nghiệm x_1,x_2 thoả mãn x_1=x_2^2+x_2.

3 thoughts on “Một số bài toán về phương trình bậc hai”

  1. Ở câu 1a, nếu đề bài đổi là Ix2-x1I =7 thì vẫn tìm ra m là +3 và -3
    vậy sự khác nhau của Ix2-x1I=7 và (x2-x1)=7 là thế nào hả thầy?

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s