1.1. Các trường hữu hạn


Cho K là một trường giao hoán. Ảnh của \mathbb{Z} trong K là một miền nguyên, do đó sẽ đẳng cấu với \mathbb{Z} hoặc \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}, ở đó p là một số nguyên tố; trường các thương của nó sẽ đẳng cấu với \mathbb{Q} hoặc \mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}. Trong trường hợp đầu,  ta nói Kđặc số không; trong trường hợp sau, ta nói Kđặc số p.

Đặc số của K kí hiệu bởi \text{char}(K). Nếu \text{char}(K)=p\not = 0, p cũng là số nguyên dương n bé nhất để n\cdot 1=0.

Bổ đề.Nếu \text{char}(K)=p, ánh xạ \sigma : x\mapsto x^p là một đẳng cấu của K lên một trong các trường con của nó K^p.

Chúng ta có \sigma (xy)=\sigma (x)\sigma (y). Hơn nữa hệ số nhị thức C_p^k là đồng dư với 0\pmod{p} khi 0<k<p. Từ điều này sẽ được \sigma (x+y)=\sigma (x)+\sigma (y); do vậy mà \sigma là đồng cấu. Hơn nữa, \sigma rõ ràng là đơn ánh.

Định lí 1.-i)Đặc số của một trường hữu hạn K là một số nguyên tố p; nếu f=[K:\mathbb{F}_p], số phần tử của K bằng p^f.

ii)Cho p là một số nguyên tố và cho q=p^f(f\geq 1) là một luỹ thừa của p. Cho \Omega là một trường đóng đại số có đặc số p. Có tồn tại duy nhất trường con \mathbb{F}_q của \Omegaq phần tử. Nó là tập các nghiệm của đa thức X^q-X.

iii)Tất cả trường hữu hạn với q=p^f(f\geq 1) phần tử đều đẳng cấu với \mathbb{F}_q.

Nếu K hữu hạn, nó không chứa \mathbb{Q}. Do vậy đặc số của nó là một số nguyên tố p. Nếu f là bậc của mở rộng K/\mathbb{F}_p, rõ ràng là \text{Card}(K)=p^f, và i) được chứng minh.

Mặt khác, nếu \Omega là đóng đại số và có đặc số p, bổ đề trên chứng tỏ là ánh xạ x\mapsto x^q(ở đây q=p^f(f\geq 1)) là một tự đẳng cấu của \Omega; cụ thể, ánh xạ này là luỹ thừa bậc f của tự đẳng cấu \sigma : x\mapsto x^q (chú ý rằng \sigma là toàn ánh vì \Omega là đóng đại số). Do đó, các phần tử của \Omega bất biết dưới tự đẳng cấu x\mapsto x^q là một trường con \mathbb{F}_q của \Omega. Đạo hàm của đa thức X^q-XqX^{q-1}-1=p\cdot p^{f-1}X^{q-1}-1=-1, và nó khác 0. Điều này kéo theo (vì \Omega là đóng đại số) X^q-Xq nghiệm phân biệt, do đó \text{Card}(\mathbb{F}_q)=q. Ngược lại, nếu K là một trường con của \Omega với q phần tử, nhóm nhân K^* các phần tử khác không của Kq-1 phần tử. Khi đó x^{q-1}=1 nếu x\in K^*x^q=x với x\in K. Điều này chứng tỏ K chứa trong \mathbb{F}_q. Vì \text{Card}(K)=\text{Card}(\mathbb{F}_q) ta có K=\mathbb{F}_q, do vậy ta có ii).

Mệnh đề iii) có được từ  ii) cùng với chú ý là mỗi trường có p^f phần tử đều có thể nhúng vào \Omega vì nó là đóng đại số.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s