Trung bình cộng – trung bình nhân (1)


Nếu a_1,a_2,\cdots,a_nn số thực không âm thì \dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}.

Bài 1. Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq 3\sqrt{2}.

Bài 2. Cho các số thực dương a,b,c thay đổi thoả mãn a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}.

Bài 3. Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng

a)a^2+b^2+c^2\geq 3;

b)a^3+b^3+c^3\geq 3;

c)a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2

Bài 4. Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức a^2+b^2+c^2a^3+b^3+c^3.

Bài 5. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng  (a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc.

Bài 6. Chứng minh rằng

a)(a+b)(1/a+1/b)\geq 4\forall a,b>0;

b)(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)\geq 9\forall a,b,c>0.

Bài 7. Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi nhưng luôn thoả mãn \dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}=6. Xét biểu thức P=x+y^2+z^3.

a)Chứng minh rằng P\geq x+2y+3z-3;

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 8. Chứng minh rằng a+\dfrac{1}{b(a-b)}\geq 3 với a>b>0.

Bài 9. Cho hai số dương a,b thoả mãn a+b=1. Chứng minh rằng

a)\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}\geq 6;

b)\dfrac{2}{ab}+\dfrac{3}{a^2+b^2}\geq 14.

Bài 10. Chứng minh rằng

\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\geq 4\forall a,b,c,d>0.

1 thought on “Trung bình cộng – trung bình nhân (1)”

  1. Pingback: Nguyen Trung Tuan

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s