Mở đầu về bất đẳng thức



I. Phương pháp biến đổi tương đương

Bài 1. Chứng minh rằng

a, x^4+y^4\geq x^3y+xy^4\forall x,y\in\mathbb{R};

b, a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca\forall a,b,c\in\mathbb{R};

c, a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\geq a(b+c+d+e)\forall a,b,c,d,e\in\mathbb{R}.

Bài 2. Cho z\geq y\geq x>0. Chứng minh rằng y\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right).

II. Đánh giá đại diện

Bài 1. Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn xyz=1.

Chứng minh rằng \sum\dfrac{1}{x^3+y^3+1}\leq 1.

Bài 2. Chứng minh rằng với ba số thực dương a,b,c ta có \sum \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \dfrac{a+b+c}{3}.

III. Phản chứng

Bài 1. Cho 0<a,b,c<1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai a(1-b)>\dfrac{1}{4}, b(1-c)>\dfrac{1}{4},c(1-a)>\dfrac{1}{4}.

Bài 2. Cho các số thực a,b,c thoả mãn abc>0,ab+bc+ca>0,a+b+c>0. Chứng minh rằng a>0,b>0,c>0.

IV. Bài tập về nhà

Bài 1. Cho 0<a,b,c<2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau là sai a(2-b)>1, b(2-c)>1, c(2-a)>1 .

Bài 2. Cho ab\geq 1. Chứng minh rằng \dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\geq\dfrac{2}{1+ab}, từ đó suy ra rằng nếu x,y,z\geq 1 thì \dfrac{1}{1+x^3}+\dfrac{1}{1+y^3}+\dfrac{1}{1+z^3}\geq\dfrac{3}{1+xyz}.

Bài 3. Cho hai số thực a,b thoả mãn a+b\geq 0.  Chứng minh rằng \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\leq\dfrac{a^3+b^3}{2}.

Bài 4. Cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng

\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\geq\sqrt{3}(x+y+z).

Bài 5. Cho a,b,c>0 thoả mãn \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b}. Chứng minh rằng \dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{c+b}{2c-b}\geq 4.

Bài 6. Cho các số thực dương x,y thoả mãn x^2+y^3\geq x^3+y^4. Chứng minh rằng x^3+y^3\leq x^2+y^2\leq x+y\leq 2.

Bài 7. Cho các số thực a,b,c. Chứng minh rằng ba số này cùng dấu khi và chỉ khi ab+bc+ca>0 và \dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}>0.

4 thoughts on “Mở đầu về bất đẳng thức”

  3. Tôi cần nhờ các quý Thầy cô và các tài năng Toán học trẻ cho tôi lời giải hay của bài toán sau:
    Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: b2 + bc + c2 = 1 – 3a2/2
    Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = a + b + c .
    Tôi xin chân thành cảm ơn!

    Reply

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. ( Log Out / Change )

Cancel

Connecting to %s