Các đẳng thức có điều kiện


Bài 1 .  Cho các số thực a,b,c thoả mãn a+b+c=0. Chứng minh rằng a^3+b^3+c^3=3abc.

Bài 2.  Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn x+y+z=0.

Chứng minh rằng

\sum_{\text{cyclic}}\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=\sum_{\text{cyclic}}\dfrac{x^3}{yz}.

Bài 3.  Cho các số thực a,b,c,d thoả mãn a+b+c+d=0. Chứng minh rằng a^3+b^3+c^3+d^3=3(abc+bcd+cda+dab).

Bài 4.  Cho a,b,c là các số thực khác 0 sao cho a+b+c=0a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5. Chứng minh rằng a^2+b^2+c^2=\dfrac{6}{5}.

Bài 5.  Chứng minh rằng nếu x,y,z là các số thực sao cho x^3+y^3+z^3\not =0 thì \dfrac{2xyz-x-y-z}{x^3+y^3+z^3}=\dfrac{2}{3}\Longleftrightarrow x+y+z=0.

Bài 6.  Cho x,y,z là các số thực thoả mãn \sum (x-y)^2=\sum (x+y-2z)^2. Chứng minh rằng x=y=z.

Bài 7.  Cho các số thực a,b,c khác 0 thoả mãn điều kiện a+2b-3c=0bc+2ca-3ab=0. Chứng minh rằng a=b=c.

Bài 8.  Cho ba số m,n,p mà có tổng bằng 0. Chứng minh rằng

a)m^3+m^2p-mnp+n^2p+n^3=0;

b)(m^2+n^2+p^2)^2-2(m^4+n^4+p^4)=0;

c)\dfrac{1}{n^2+p^2-m^2}+\dfrac{1}{p^2+m^2-n^2}+\dfrac{1}{m^2+n^2-p^2}=0.

Bài 9.  Chứng tỏ rằng giá trị của hai biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến m,n,p nếu m+n+p=0

a)S=\left(\dfrac{m-n}{p}+\dfrac{n-p}{m}+\dfrac{p-m}{n}\right)\left(\dfrac{p}{m-n}+\dfrac{m}{n-p}+\dfrac{n}{p-m}\right).

b)T=\left(1+\dfrac{m}{n}\right)\left(1+\dfrac{n}{p}\right)\left(1+\dfrac{p}{m}\right).

Bài 10.  Chứng minh rằng nếu x,y,z là các số thực có tổng bằng 0 thì

a)2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x^2+y^2+z^2), và

b)10(x^7+y^7+z^7)=7(x^2+y^2+z^2)(x^5+y^5+z^5).

Bài 11.  Chứng minh rằng nếu a,b,c,d là các số thực thoả mãn a^2+b^2=c^2+d^2=1ac+bd=0 thì a^2+c^2=b^2+d^2=1ab+cd=0.

Bài 12.  Tính tổng \dfrac{1}{1+x_1+x_1x_2}+\dfrac{1}{1+x_2+x_2x_3}+\dfrac{1}{1+x_3+x_3x_1} nếu biết x_1>0,x_2>0,x_3>0x_1x_2x_3=1.

Bài 13.  Chứng minh rằng nếu m,n,p là các số hữu tỷ và mn+np+pm=1 thì tích (1+m^2)(1+n^2)(1+p^2) là bình phương của một số hữu tỷ.

7 thoughts on “Các đẳng thức có điều kiện”

  1. Thầy ơi, thầy có phải là thầy Tuân đang dạy Toán chuyên phòng KC1 không ạ?
    Em là Ánh trường THCS Việt Hưng ạ! Thầy cho em hỏi bài 10b với, bài tập về nhà em không giải được bài đấy ạ!
    Còn nếu thầy không phải thầy Tuân thì cho em xin lỗi ạ!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s