Các tập hợp số


Bài 1(APMO 2004). Tìm tất cả các tập hữu hạn khác rỗng S các số nguyên dương sao cho \dfrac{i+j}{\gcd (i,j)}\in S\forall i,j\in S.
Lời giải. S=\{2\}.
Bài 2(Rumani TST 2008). Cho n>1 là một số nguyên dương. Tìm tất cả các tập A gồm n số nguyên sao cho tổng của tất cả các phần tử của mỗi tập con khác rỗng của A không chia hết cho n+1.
Lời giải. Các phần tử của A bằng nhau theo modulo n+1, chúng đồng dư với p, ở đây \gcd (p,n+1)=1.
Bài 3(Rumani TST 2007). Tìm tất cả các tập con A của tập các số nguyên dương sao cho A có ít nhất 2 phần tử và với mỗi x,y\in A (x\not =y) chúng ta có \dfrac{x+y}{\gcd (x,y)}\in A.
Lời giải. Xét hai trường hợp các phần từ đôi một không nguyên tố và có hai phần tử nguyên tố. Đáp số \mathbb{N}^*,\mathbb{N}^*-\{1\},\mathbb{N}^*-\{2\},\mathbb{N}^*-\{1,2\}\{n,n(n-1)\}(n>2).
Bài 4. (Rumani TST 2002) Tìm tất cả các tập AB sao cho
a)A\cup B=\mathbb{Z};
b)Nếu x\in A thì x-1\in B;
c)Nếu x,y\in B thì x+y\in A.
Lời giải. A=\mathbb{Z},B=\mathbb{Z}A=\{2k|k\in\mathbb{Z}\} , B=\{2k+1|k\in\mathbb{Z}\}.

Bài 5. Cho tập hợp khác rỗng M\subset\mathbb{Q} thoả mãn hai điều kiện
a)Nếu a\in Mb\in M thì a+b\in Mab\in M;
b)Nếu r\in\mathbb{Q} thì xảy ra đúng một trong ba khả năng sau r\in M,-r\in M,r=0.
Chứng minh rằng M là tập các số hữu tỷ dương.

Bài 6(RMC 2004). Kí hiệu \mathbb{P} là tập tất cả các số nguyên tố. Gỉa sử rằng M là một tập con của \mathbb{P} thoả mãn các điều kiện sau
a)|M|>2;
b)Với mỗi tập con thực sự, khác rỗng và hữu hạn A của M , các ước nguyên tố của số \prod_{p\in A}p-1 cũng thuộc M.
Chứng minh rằng M=\mathbb{P}.

Bài 7(Romania TST 2004). Cho A là một tập con của \mathbb{Z}^+ có các tính chất
a)Nếu a\in A thì tất cả các ước dương của a cũng thuộc A;
b)Nếu a,b\in A1<a<b thì 1+ab\in A;
c)|A|>2.
Chứng minh rằng A=\mathbb{Z}^+.

Bài 8(RMC 2006). Cho A là tập các số nguyên không âm có ít nhất hai phần tử sao cho nếu a,b\in A, a>b thì số \dfrac{\text{lcm}\, (a,b)}{a-b}\in A. Chứng minh rằng A có đúng hai phần tử.

Bài 9(RMC 2006). Xét các tập A=\{\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}|a,b\in\mathbb{Z}^+,a\not =b\}  và B=\{\sqrt{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}}|x,y,z\in\mathbb{Z}^+,x>y>z\}.
Chứng minh rằng A\cap B chứa vô hạn các số hữu tỷ và vô hạn các số vô tỷ.
Lời giải. Quan tâm đến phương trình \dfrac{1}{n}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}.
Bài 10(RMC 2007). Tìm tất cả các tập con khác rỗng A của tập \{2,3,\cdots\} sao cho với mỗi n\in A, cả hai số n^2+4[\sqrt{n}]+1 cũng thuộc A.
Bài 11(France 2002). Xét 2002 số hữu tỉ x_1,x_2,\cdots,x_{2002}. Biết rằng với mỗi tập con I gồm 7 phần tử của tập \{1,2,\cdots,2002\} tồn tại tập con J gồm 11 phần tử của tập \{1,2,\cdots,2002\} sao cho \dfrac{1}{7}\sum_{i\in I}x_i=\dfrac{1}{11}\sum_{j\in J}x_j. Chứng minh rằng x_1=x_2=\cdots=x_{2002}.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s