VMO Training 2009 – Giải tích


Bài 1. Cho (x_n)_{n\geq 0} là dãy các số thực xác định bởi x_1=0,x_2=2x_{n+2}=2^{-x_n}+\dfrac{1}{2}\forall n=1,2,\cdots
Chứng minh rằng dãy số này hội tụ và tìm giới hạn của nó.

Bài 2. Cho hàm số f:(0;\infty)\to (0;\infty) thoả mãn điều kiện f(3x)\geq f(\dfrac{1}{2}f(2x))+2x\forall x>0.
Chứng minh rằng f(x)\geq x\forall x>0.

Bài 3. Cho dãy số (a_n) xác định bởi a_1=1,a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{\sqrt{a_n}}\forall n\geq 1. Tìm tất cả các số thực \alpha sao cho dãy (a_n^{\alpha}/n) có giới hạn hữu hạn khác 0 khi n\to \infty.

Bài 4. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} thoả mãn f(x^2+y+f(y))=f^2(x)+2y\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 5. Cho hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} liên tục trên \mathbb{R} và phương trình f(x+f(x+\cdots+f(x)\cdots))=2008 (2008 chữ f) có nghiệm. Chứng minh rằng phương trình f(x)=x cũng có nghiệm.

Bài 6. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho \forall x,y,z\in\mathbb{R}:|x-y|<|x-z|\Longrightarrow |f(x)-f(y)|<|f(x)-f(z)|.

Bài 7. Cho hai dãy (a_n)(b_n) xác định bởi a_0=\sqrt{2},b_0=2,a_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-a_n^2}},b_{n+1}=\dfrac{2b_n}{2+\sqrt{4+b_n^2}}\forall n\geq 0. Chứng minh rằng các dãy (a_n),(b_n) giảm và hội tụ đến 0, dãy (2^na_n) tăng, dãy (2^nb_n) giảm và hai dãy này hội tụ đến cùng một giới hạn. Chứng minh rằng có hằng số C>0 sao cho $latex

Bài 8. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n ta có \dfrac{e}{2n+2}<e-\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n<\dfrac{e}{2n+1}.

Bài 9. Cho các số nguyên dương k,s và các số thực dương a_1,a_2,\cdots,a_k;b_1,b_2,\cdots,b_s sao cho \sqrt[n]{a_1}+\sqrt[n]{a_2}+\cdots+\sqrt[n]{a_k}=\sqrt[n]{b_1}+\sqrt[n]{b_2}+\cdots+\sqrt[n]{b_s} với vô hạn số nguyên dương n. Chứng minh rằng k=s\prod a_i=\prod b_j.

Bài 10. Một hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} được gọi là có tính chất \Gamma nếu f\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\in\{f(a),f(b)\}\,\forall a,b\in\mathbb{R}. a)Tìm một hàm có tính chất \Gamma mà không phải là hàm hằng. b)Chứng minh rằng một hàm có tính chất \Gamma mà liên tục trên \mathbb{R} sẽ phải là hàm hằng.

Bài 11. Dãy (x_n) được xác định bởi x_1=a,x_{n+1}=\dfrac{2x_n^3}{3x_n^2-1}\forall n\geq 1. Hãy tìm tất cả các số thực a sao cho dãy (x_n) xác định và hội tụ.

Bài 12. Cho \mathcal{F} là tập các hàm f:(0;\infty)\to (0;\infty) thoả mãn f(3x)\geq f(f(2x))+x\forall x>0. Tìm số thực A lớn nhất sao cho f(x)\geq Ax\forall x>0\forall f\in\mathcal{F}.

Bài 13. Tìm tất cả các số thực a sao cho dãy số (x_n) xác định bởi x_0=\sqrt{1996},x_{n+1}=\dfrac{a}{1+x_n^2}\forall n\geq 0 là dãy số hội tụ.

Bài 14. Cho dãy (u_n) xác định như sau u_1=2,u_{n+1}=u_n+\sqrt{1+\dfrac{u_n}{2}}\forall n\geq 1. Tìm tất cả các số thực \alpha sao cho dãy (u_n^{\alpha}/n) hội tụ và giới hạn của nó khác 0.

Bài 15. Tìm tất cả các hàm f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f(x^2+f(y))=y+f^2(x)\forall x,y\in\mathbb{R}.

Bài 16. Tìm tất cả các hàm số f:[1,\infty)\to [1,\infty) sao cho
a)f(x)\leq 2(x+1)\forall x\geq 1
b)f(x+1)=\dfrac{f^2(x)-1}{x}\forall x\geq 1.

Bài 17. Cho các số thực dương a,b. Tìm tất cả các hàm số f:[0,\infty)\to [0,\infty) sao cho [f(f(x))+af(x)=b(a+b)x\forall x\geq 0.

Baì 18. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} sao cho f((x+z)(y+z))=(f(x)+f(z))(f(y)+f(z))\forall x,y,z\in\mathbb{R}.

1 thought on “VMO Training 2009 – Giải tích”

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s